Question

Докажите что не существует таких значений X и Y при которых многочлены -5x²+3xy+4y² и 6x²-3xy-y² одновременно принимали б отрицательних значений?

Answer 1

Суммируем многочлены.
$-5x^2+3xy+4y^2+6x^2-3xy-y^2= x^2+3y^2$
Мы знаем, что любое число в квадрате будем положительным. Даже если $y \ \textgreater \ x$ всё равно значения будут положительны. Значит, таких значений не существует.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что не существует таких значений x и y, при которых оба многочлена принимают отрицательные значения, давайте предположим обратное: допустим, что существуют такие значения x и y.

Многочлены:

1. P1(x, y) = -5x² + 3xy + 4y²
2. P2(x, y) = 6x² - 3xy - y²

Мы хотим доказать, что нет таких x и y, при которых P1(x, y) и P2(x, y) одновременно принимают отрицательные значения.

Предположим, что для некоторых значений x0 и y0 оба многочлена принимают отрицательные значения:

1. P1(x0, y0) < 0
2. P2(x0, y0) < 0

Суммируем оба неравенства:

P1(x0, y0) + P2(x0, y0) < 0

Теперь заметим, что:

P1(x0, y0) + P2(x0, y0) = (-5x² + 3xy + 4y²) + (6x² - 3xy - y²) = x² + 3y²

Получили, что x² + 3y² < 0, но это невозможно, так как квадраты любых действительных чисел всегда неотрицательны. Следовательно, наше предположение о том, что существуют такие значения x и y, при которых оба многочлена принимают отрицательные значения, неверно.

Таким образом, мы доказали, что не существует таких значений x и y, при которых многочлены -5x² + 3xy + 4y² и 6x² - 3xy - y² одновременно принимали бы отрицательные значения.