Question

Найти область определения функции: в числителе под корнем 9-х^2 в знаменателе х+1

Answer 1

{9-x²≥0⇒(3-x)(3+x)≥0⇒-3≤x≤3
{x+1≠0⇒x≠-1
x∈[-3;-1) U (-1;3]

Answer 2

Чтобы найти область определения функции, нужно определить все значения аргумента (x), при которых функция имеет смысл, то есть не делится на ноль и аргумент под корнем неотрицателен.

Данная функция имеет вид: $f(x) = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{x + 1}$

1. Деление на ноль: Заметим, что функция содержит знаменатель $x + 1$. Чтобы избежать деления на ноль, необходимо исключить значение аргумента, при котором $x + 1 = 0$. Это происходит, когда $x = -1$. Поэтому значение $x$ не должно быть равно -1.

2. Неотрицательное значение под корнем: Выражение под корнем $(9 - x^2)$ должно быть неотрицательным, иначе у нас будет комплексное значение под корнем, что не допустимо для вещественных функций. Таким образом, необходимо найти значения $x$, при которых $9 - x^2 \geq 0$.

Решим неравенство $9 - x^2 \geq 0$:

$9 - x^2 \geq 0$

$x^2 - 9 \leq 0$

$(x + 3)(x - 3) \leq 0$

Теперь найдем интервалы, удовлетворяющие неравенству $(x + 3)(x - 3) \leq 0$:

1. $x + 3 \leq 0$ и $x - 3 \geq 0$
   Отсюда получаем, что $-3 \leq x \leq 3$.

2. $x + 3 \geq 0$ и $x - 3 \leq 0$
   Отсюда получаем, что $x \geq 3$ или $x \leq -3$.

Таким образом, область определения функции - это все значения $x$, кроме $x = -1$, при этом $x$ должен принадлежать интервалу $[-3, 3]$. То есть, область определения:

$D = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq -1, -3 \leq x \leq 3 \}$