Question

Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания a нормального распределения с надёжностью 0,95, зная выборочную среднюю , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ х= 75,08 n=225 σ =15

Answer 1

$\displaystyle \bigg(\overline{x}- t_{\alpha;n}\frac{\sigma}{ \sqrt{n} } \ \textless \ a\ \textless \ \overline{x}+t_{\alpha;n} \frac{\sigma}{ \sqrt{n} } \bigg)$ - общий вид доверительного интервала .


Подставляя данные из условия, имеем:

$\displaystyle \bigg(75.08- t_{0.025;225}\frac{15}{ \sqrt{225} } \ \textless \ a\ \textless \ 75.08+t_{0.025;225} \frac{15}{ \sqrt{225} } \bigg)=\\ \\ \\ =\bigg(75.08-t_{0.025;225}\ \textless \ a\ \textless \ 75.08+t_{0.025;225}\bigg)=\\ \\ \\ =\bigg(75.08-1.96\ \textless \ a\ \textless \ 75.08+1.96\bigg)=\bigg(73.12\ \textless \ a\ \textless \ 77.04\bigg)$

P.S. коэффициент надежности :   $1-2 \alpha =0.95~~~\Rightarrow~~ \alpha =0.025$

Answer 2

Для нахождения доверительного интервала для оценки математического ожидания a нормального распределения с известным значением среднего квадратического отклонения σ при заданной надёжности (доверительной вероятности) 0,95, можно использовать формулу:

Доверительный интервал = (x - z * σ / √n, x + z * σ / √n),

где: x - выборочное среднее, σ - среднее квадратическое отклонение, n - объем выборки, z - значение стандартного нормального распределения для заданной доверительной вероятности.

Для 95% доверительного интервала z = 1,96 (это значение можно найти в таблицах стандартного нормального распределения).

Подставим значения в формулу:

Доверительный интервал = (75,08 - 1,96 * 15 / √225, 75,08 + 1,96 * 15 / √225)

Вычислим значения:

Доверительный интервал = (75,08 - 1,96 * 15 / 15, 75,08 + 1,96 * 15 / 15)

Доверительный интервал = (75,08 - 1,96, 75,08 + 1,96)

Доверительный интервал = (73.12, 77.04)

Таким образом, 95% доверительный интервал для оценки математического ожидания составляет от 73.12 до 77.04.