Question

Найдите экстремумы функции f (x) = 48x - x³

Answer 1

$f(x)=48x-x^3\\f'(x)=48-3x^2\\f'(x)=0\\48-3x^2=0\\-3x^2+48=0\\3x^2-48=0\\x^2-16=0\\x^2=16\\x_1=4\\x_2=-4$
$---(-4)---(4)---\\ -(-)---(+)---(-)-\\min=-4\\max=4$
$f(4)=48*4-4^3=192-64=128\\f(-4)=-48*4+64=-128$

Answer 2

Решение во вложении. Успехов в алгебре!

Answer 3

Для нахождения экстремумов функции f(x) = 48x - x³ необходимо найти точки, в которых производная функции равна нулю. Экстремумы могут быть максимумами или минимумами функции.

Шаги для нахождения экстремумов:

1. Найдите производную функции f'(x) по переменной x.
2. Решите уравнение f'(x) = 0, чтобы найти точки, в которых производная равна нулю.
3. Проверьте вторую производную f''(x) в каждой найденной точке. Если f''(x) > 0, то это точка минимума; если f''(x) < 0, то это точка максимума; если f''(x) = 0, то тест не дает определенного результата, и дополнительные исследования могут потребоваться.

Теперь найдем экстремумы функции f(x):

Шаг 1: Найдем производную функции f'(x): f'(x) = d/dx (48x - x³) = 48 - 3x²

Шаг 2: Решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти точки, в которых производная равна нулю: 48 - 3x² = 0 3x² = 48 x² = 48/3 x² = 16 x = ±√16 x = ±4

Таким образом, у нас есть две точки, где производная равна нулю: x = 4 и x = -4.

Шаг 3: Проверим вторую производную f''(x) в каждой найденной точке:

f''(x) = d²/dx² (48x - x³) = d/dx (48 - 3x²) = -6x

• Для x = 4: f''(4) = -6 * 4 = -24 (значение отрицательное, это точка максимума)
• Для x = -4: f''(-4) = -6 * (-4) = 24 (значение положительное, это точка минимума)

Таким образом, функция f(x) = 48x - x³ имеет один максимум при x = 4 и один минимум при x = -4.