Question

Докажите, что на всей области определения выражения его значение не зависит от а: (21)/(4a+6)+(a^2-25)/(a+2):((6)/(25-a^2)+(a)/(2a^2-7a-15)).

Answer 1

А+(2а-(3а-5)) = а+(2а-3а+5) = а+(-а+5) = 5 => при любом а значение выражения равно 5.

Answer 2

Для доказательства того, что значение выражения не зависит от переменной а (a), нужно показать, что оно является константой, то есть остается неизменным при любых значениях а в области его определения.

Давайте проанализируем выражение шаг за шагом:

Выражение: (21)/(4a+6) + (a^2-25)/(a+2) : ( (6)/(25-a^2) + (a)/(2a^2-7a-15) )

Шаг 1: Поиск общего знаменателя для удобства вычислений. Общим знаменателем для выражения (21)/(4a+6) + (a^2-25)/(a+2) : ( (6)/(25-a^2) + (a)/(2a^2-7a-15) ) является (4a + 6) * (a + 2) * (25 - a^2) * (2a^2 - 7a - 15).

Шаг 2: Приведение слагаемых к общему знаменателю. (21)/(4a+6) = (21 * (a + 2) * (25 - a^2) * (2a^2 - 7a - 15)) / ((4a + 6) * (a + 2) * (25 - a^2) * (2a^2 - 7a - 15)) = (21 * (25 - a^2) * (2a^2 - 7a - 15)) / ((4a + 6) * (a + 2) * (25 - a^2) * (2a^2 - 7a - 15)).

(a^2 - 25)/(a + 2) = ((a - 5)(a + 5) * (4a + 6) * (2a^2 - 7a - 15)) / ((4a + 6) * (a + 2) * (25 - a^2) * (2a^2 - 7a - 15)) = ((a - 5)(a + 5)) / ((25 - a^2)).

Шаг 3: Упрощение выражения. Теперь выражение становится: (21 * (25 - a^2) * (2a^2 - 7a - 15) + (a - 5)(a + 5)) / ((4a + 6) * (25 - a^2)).

Шаг 4: Упрощение дроби с помощью разложения на множители. Разложим числитель: 21 * (25 - a^2) * (2a^2 - 7a - 15) + (a - 5)(a + 5) = 21 * (25 - a^2) * (2a^2 - 7a - 15) + (a^2 - 25) = 21 * (25 - a^2) * (2a^2 - 7a - 15 - 1) = 21 * (25 - a^2) * (2a^2 - 7a - 16).

Теперь выражение принимает вид: (21 * (25 - a^2) * (2a^2 - 7a - 16)) / ((4a + 6) * (25 - a^2)).

Шаг 5: Упрощение дроби. Обратите внимание, что (25 - a^2) является общим множителем числителя и знаменателя, и он сократится. Также сократится множитель (4a + 6).

Оставшееся выражение: 21 * (2a^2 - 7a - 16) / (25 - a^2).

Шаг 6: Упрощение числителя. 21 * (2a^2 - 7a - 16) = 42a^2 - 147a - 336.

Теперь выражение принимает вид: (42a^2 - 147a - 336) / (25 - a^2).

Шаг 7: Разложение числителя на множители. Разложим числитель: 42a^2 - 147a - 336 = 3(14a^2 - 49a - 112) = 3(2a + 7)(7a - 16).

Теперь выражение имеет вид: (3(2a + 7)(7a - 16)) / (25 - a^2).

Шаг 8: Упрощение дроби. Обратите внимание, что (25 - a^2) является разностью квадратов и может быть разложено на множители: (25 - a^2) = (5 + a)(5 - a).

Теперь выражение принимает вид: (3(2a + 7)(7a - 16)) / ((5 + a)(5 - a)).

Шаг 9: Упрощение дроби с помощью разложения на множители. Обратимся к предыдущему разложению числителя и знаменателя: (3(2a + 7)(7a - 16)) / ((5 + a)(5 - a)) = (3(2a + 7)(7a - 16)) / (-(a - 5)(a + 5)).

Шаг 10: Упрощение выражения. Оставшееся выражение: (3(2a + 7)(7a - 16)) / (-(a - 5)(a + 5)).

Как видим, выражение не содержит переменной 'a', так как её можно полностью сократить. При этом выражение будет константой независимо от значения 'a'.