Question

Докажите неравенство 4-4/b ≤b, если b ≥0. Помогите пожалуйста

Answer 1

$4-\frac{4}{b} \leq b\; \; \; \; \; dokazat\; !\\\\4-\frac{4}{b}-b=\frac{4b-4-b^2}{b}=\frac{-(b^2-4b+4)}{b}=\frac{-(b-2)^2}{b} \leq 0\; ,\, tak\; kak\\\\(b-2)^2 \geq 0\; \; \to \; \; -(b-2)^2 \leq 0\; \; i\; \; b\ \textgreater \ 0$

Так как квадрат любого выражения больше или равен 0, то числитель 
  $-(b-2)^2\leq 0$  , знаменатель по условию b>0, поэтому дробь будет меньше или равна 0. 

$\frac{-(b-2)^2}{b} \leq 0\; \; \Rightarrow \; \; 4-\frac{4}{b}-b\leq 0\; \; \Rightarrow \; \; 4-\frac{4}{b} \leq b$

Answer 2

4 - 4/b <= b
Тк b > 0, мы можем домножить на b:
4b - 4 <= b^2
b^2 - 4b + 4 >= 0
(b - 2)^2 >= 0
Квадрат любого числа — число неотрицательное, значит неравенство верно

Answer 3

Для того чтобы доказать неравенство $4 - \frac{4}{b} \leq b$, при условии $b \geq 0$, нужно использовать методы алгебры и математической логики.

Давайте начнем с доказательства:

1. Предположение: $b \geq 0$

2. Для начала, давайте попробуем преобразовать неравенство и упростим его:

$4 - \frac{4}{b} \leq b$

Сначала выразим общий знаменатель в левой части неравенства:

$\frac{4b}{b} - \frac{4}{b} \leq b$

$\frac{4b - 4}{b} \leq b$

3. Теперь домножим обе стороны неравенства на $b$, чтобы избавиться от знаменателя:

$4b - 4 \leq b^2$

4. Перепишем неравенство в стандартной форме, чтобы собрать все слагаемые на одной стороне:

$b^2 - 4b + 4 \geq 0$

5. Теперь нам нужно решить полученное квадратное уравнение. Заметим, что это квадратное уравнение имеет кратный корень, а именно $b^2 - 4b + 4 = (b - 2)^2$.

6. Нам известно, что если квадратный трином равен нулю, то он имеет единственный корень. В нашем случае, $(b - 2)^2 = 0$ при $b = 2$.

Таким образом, уравнение $b^2 - 4b + 4 = 0$ имеет единственный корень $b = 2$.

7. Теперь, чтобы узнать знак уравнения $b^2 - 4b + 4$ на интервалах, используем тестирование знаков.

7.1. Если $b < 2$, возьмем $b = 1$:

$1^2 - 4 \cdot 1 + 4 = 1 - 4 + 4 = 1 > 0$

7.2. Если $b > 2$, возьмем $b = 3$:

$3^2 - 4 \cdot 3 + 4 = 9 - 12 + 4 = 1 > 0$

8. Мы видим, что на интервалах $b < 2$ и $b > 2$ уравнение $b^2 - 4b + 4$ положительно.

9. Возвращаемся к исходному неравенству:

$b^2 - 4b + 4 \geq 0$

10. Так как уравнение $b^2 - 4b + 4$ положительно на интервалах $b < 2$ и $b > 2$, а в точке $b = 2$ достигает нуля, то неравенство $b^2 - 4b + 4 \geq 0$ выполняется для любых значений $b \geq 0$.

Таким образом, мы доказали исходное неравенство $4 - \frac{4}{b} \leq b$ при условии $b \geq 0$.