Question

Составить уравнение касательной к графику f(x)=4/x в точке с абсциссой x0=2. Найти координаты всех точек графика этой функции, касательные в которых параллельны найденной касательной.

Answer 1

Смотри приложенное решение

Answer 2

Для составления уравнения касательной к графику функции $f(x) = \frac{4}{x}$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции $f(x)$.
2. Вычислите значение производной в точке $x_0 = 2$ для нахождения углового коэффициента касательной.
3. Используйте угловой коэффициент и точку $x_0 = 2$ для составления уравнения касательной.
4. Найдите координаты точек графика функции, в которых касательные параллельны найденной касательной.

Шаг 1: Найдем производную функции $f(x) = \frac{4}{x}$ по $x$:

$f'(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{4}{x}\right) = -\frac{4}{x^2}$

Шаг 2: Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(2) = -\frac{4}{2^2} = -1$

Шаг 3: Уравнение касательной имеет форму $y - y_0 = m(x - x_0)$, где $y_0 = f(2)$ - ордината точки $x_0 = 2$, а $m = -1$ - угловой коэффициент касательной.

$y - f(2) = -1(x - 2)$ $y - \frac{4}{2} = -x + 2$ $y - 2 = -x + 2$ $y = -x + 4$

Таким образом, уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{4}{x}$ в точке $x_0 = 2$ равно $y = -x + 4$.

Шаг 4: Касательные параллельны, если угловые коэффициенты равны. Это означает, что для любой точки графика функции $f(x) = \frac{4}{x}$, у которой производная равна $-1$, касательная будет параллельна найденной касательной.

$f'(x) = -1$ $-\frac{4}{x^2} = -1$

Теперь найдем все точки графика функции $f(x) = \frac{4}{x}$, у которых производная равна $-1$:

$-\frac{4}{x^2} = -1$ $x^2 = 4$ $x = \pm 2$

Таким образом, существует две точки графика функции $f(x) = \frac{4}{x}$, в которых касательные параллельны найденной касательной $y = -x + 4$. Эти точки имеют абсциссы $x = 2$ и $x = -2$.

Теперь найдем ординаты этих точек: $y = f(2) = \frac{4}{2} = 2$ $y = f(-2) = \frac{4}{-2} = -2$

Таким образом, координаты двух точек графика функции $f(x) = \frac{4}{x}$, в которых касательные параллельны касательной $y = -x + 4$, равны $(2, 2)$ и $(-2, -2)$.