Question

3cos2x-7sin=4 Помогите решить

Answer 1

$cos{2x}=1-2sin^2x \\ 3*(1-2sin^2x)-7sinx-4=0 \\ 3-6sin^2x-7sinx-4=0 \\ 6sin^2x+7sinx+1=0 \\ sinx=t \\ 6t^2+7t+1=0 \\ t_1=- \frac{1}{6} \\ t_2= -1 \\ \left \{ {{sinx=-1} \atop {sinx=-\frac{1}{6} }} \right. \left \{ {{x_1= \frac{3 \pi }{2}+2\pi n } \atop {x_2=arcsin(-\frac{1}{6})+2\pi n }}\atop {x_3= \pi+arcsin(-\frac{1}{6})+2\pi n }} \right.$

Answer 2

Для решения уравнения 3cos(2x) - 7sin(x) = 4 сначала приведем его к более удобному виду, используя тригонометрические тождества:

cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) (Формула двойного угла для косинуса) sin(2x) = 2sin(x)cos(x) (Формула двойного угла для синуса)

Теперь подставим эти тождества в исходное уравнение:

3(cos^2(x) - sin^2(x)) - 7sin(x) = 4

Далее, заменим sin^2(x) на (1 - cos^2(x)), чтобы получить уравнение только с одной переменной (cos(x)):

3cos^2(x) - 3(1 - cos^2(x)) - 7sin(x) = 4

Раскроем скобки:

3cos^2(x) - 3 + 3cos^2(x) - 7sin(x) = 4

Теперь приведем уравнение к виду квадратного уравнения:

6cos^2(x) - 7sin(x) - 7 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(x). Решим его:

Для этого используем формулу дискриминанта D:

D = b^2 - 4ac

где a = 6, b = -7 и c = -7.

D = (-7)^2 - 4 * 6 * (-7) = 49 + 168 = 217

Теперь найдем cos(x) с помощью формулы корней квадратного уравнения:

cos(x) = (-b ± √D) / 2a

cos(x) = (7 ± √217) / (2 * 6)

cos(x) = (7 ± √217) / 12

Таким образом, получаем два значения для cos(x):

1. cos(x) = (7 + √217) / 12
2. cos(x) = (7 - √217) / 12

Теперь найдем значения sin(x) для каждого значения cos(x) с помощью исходного уравнения:

1. Для cos(x) = (7 + √217) / 12:

sin(x) = (3cos^2(x) - 4) / 7 sin(x) = (3((7 + √217) / 12)^2 - 4) / 7 sin(x) ≈ 0.615

2. Для cos(x) = (7 - √217) / 12:

sin(x) = (3cos^2(x) - 4) / 7 sin(x) = (3((7 - √217) / 12)^2 - 4) / 7 sin(x) ≈ -0.461

Таким образом, уравнение имеет два решения:

1. x ≈ arcsin(0.615) ≈ 0.687 радиан ≈ 39.4° (плюс дополнительные кратные 2π, если необходимо).
2. x ≈ arcsin(-0.461) ≈ -0.475 радиан ≈ -27.3° (плюс дополнительные кратные 2π, если необходимо).