Question

Найдите критические точки функции y=x^3-6x^2-15x+7. Какие из них - точки максимума, а какие - точки минимума функции?

Answer 1

Находим производную y' = 3x^2 - 12x - 15
Приравниваем к нулю
Находим D= 144 - 4*3*(-15) = 324
x1 = (12-18)/6 = -1 
x2 = (12 - 18)/6 = 5
Теперь находим знаки на промежутке от -бесконечности до -1, от -1 до 5 и от 5 до + бесконечности, подставляя числа из этих промежутков в нашу производную.
Например от -бесконечности до -1 это -2
Получится так: -беск. -1( знак полож. от -1 до 5 ( отр.), от 5 до + беск (полож.) Точка min = -1 , точка max = 5 

Answer 2

Чтобы найти критические точки функции, нужно найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Критические точки могут быть точками минимума, максимума или перегиба функции.

Дана функция y = x^3 - 6x^2 - 15x + 7. Давайте найдем ее производную:

y' = d/dx (x^3 - 6x^2 - 15x + 7).

Для нахождения производной возьмем производные каждого члена по отдельности:

y' = d/dx (x^3) - d/dx (6x^2) - d/dx (15x) + d/dx (7).

y' = 3x^2 - 12x - 15.

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

3x^2 - 12x - 15 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение. Для удобства можно разделить все на 3:

x^2 - 4x - 5 = 0.

Теперь факторизуем:

(x - 5)(x + 1) = 0.

Таким образом, получаем две критические точки: x = 5 и x = -1.

Теперь, чтобы определить, является ли каждая критическая точка точкой максимума или точкой минимума, нужно проанализировать знаки производной в окрестности каждой точки.

1. Критическая точка x = 5: Подставим значение x = 5 во вторую производную (производную производной):

y'' = d/dx (3x^2 - 12x - 15).

y'' = 6x - 12.

y''(5) = 6 * 5 - 12 = 30 - 12 = 18 (положительное число).

Так как вторая производная положительна, это означает, что функция имеет локальный минимум в точке x = 5.

2. Критическая точка x = -1: Подставим значение x = -1 во вторую производную:

y'' = d/dx (3x^2 - 12x - 15).

y'' = 6x - 12.

y''(-1) = 6 * (-1) - 12 = -6 - 12 = -18 (отрицательное число).

Так как вторая производная отрицательна, это означает, что функция имеет локальный максимум в точке x = -1.

Итак, точка x = 5 является точкой минимума функции, а точка x = -1 является точкой максимума функции.