Question

Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x + 3 x² , в точке x₀=2.

Answer 1

Уравнение касательной
у=f(x₀) + f'(x₀)*(x - x₀)

f(x₀) =f(2)=2+3*2²=2+3*4=14
f'(x)=1+6x
f'(x₀) =f'(2)=1+6*2=1+12=13

y=14+13(x-2)
у=14+13х-26
у=13х-12

Answer 2

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x₀, нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдите значение производной функции f(x) по переменной x. Шаг 2: Подставьте x₀ в полученное значение производной для определения наклона касательной в точке x₀. Шаг 3: Используйте найденный наклон и координаты точки x₀ для записи уравнения касательной в формате y = mx + b, где m - наклон, а b - точка пересечения с осью y.

Теперь, приступим к выполнению шагов:

Шаг 1: Найдем производную функции f(x) по x: f(x) = x + 3x²

Производная f'(x) равна сумме производных слагаемых: f'(x) = d/dx (x) + d/dx (3x²)

Производная константы равна нулю, а производная x равна 1, поэтому получим: f'(x) = 1 + 3 * d/dx (x²)

Применим правило степенной функции для нахождения производной x²: d/dx (x²) = 2x

Теперь производная функции f(x) выглядит следующим образом: f'(x) = 1 + 3 * 2x f'(x) = 1 + 6x

Шаг 2: Найдем наклон касательной в точке x₀ = 2, подставив x₀ в выражение для производной: f'(2) = 1 + 6 * 2 f'(2) = 1 + 12 f'(2) = 13

Таким образом, наклон касательной в точке x₀ = 2 равен 13.

Шаг 3: Теперь нам нужно найти точку пересечения касательной с осью y (точку b). Для этого подставим x = 2 и f(x) = 2 + 3 * 2² в уравнение касательной y = mx + b:

2 + 3 * 2² = 13 * 2 + b

Упростим: 2 + 12 = 26 + b

b = 14

Теперь у нас есть значение наклона m = 13 и точка пересечения с осью y b = 14.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = x + 3x² в точке x₀ = 2 имеет вид:

y = 13x + 14