Question

Найти площадь между линиями: х-2у-5=0, у=-2х, у=0

Answer 1

Найдем точки пересечения графиков (корни)
$\left \{ {{y=-2x} \atop {x-2y-5=0}} \right.$
$x-2(-2x)-5=0$
$x+4x-5=0$
$5x=5$
$x=1$
$y=-2x$
$y=-2$
Корень: (1;-2)

$\left \{ {{y=0} \atop {y=-2x}} \right.$
Корень: (0;0)

$\left \{ {{y=0} \atop {x-2y-5=0}} \right.$
$x-5=0$
$x=5$
$y=0$
Корень: (5;0)

Получился треугольник - его площадь $S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)$
$a=|5-0|=5$, так как
$b= \sqrt{2^{2}+1}=\sqrt{5}$ ≈2.24
$c= \sqrt{1+7^{2}}= 5\sqrt{2}$ ≈7
$p= \frac{5+2.24+7}{2}$ ≈ 7,12
$S= \sqrt{7,12(7,12-5)(7,12-2.24)(7,12-7)}$≈3

Answer 2

Чтобы найти площадь между линиями, необходимо сначала определить точки их пересечения. Затем, используя эти точки, можно вычислить площадь фигуры, ограниченной этими линиями.

Давайте найдем точки пересечения линий друг с другом.

1. Линия 1: х - 2у - 5 = 0
2. Линия 2: у = -2х
3. Линия 3: у = 0 (это ось х)

Теперь найдем точки пересечения:

1. Для линий 1 и 2: Подставим у из линии 2 в уравнение линии 1: х - 2(-2х) - 5 = 0 х + 4х - 5 = 0 5х - 5 = 0 5х = 5 х = 1

Теперь найдем у, подставив х в уравнение линии 2: у = -2 * 1 у = -2

Точка пересечения линии 1 и 2: (1, -2)

2. Для линий 2 и 3: Поскольку у = 0, подставим это значение у в уравнение линии 2: 0 = -2х

Это уравнение дает нам х = 0. Таким образом, точка пересечения линии 2 и 3: (0, 0)

Теперь у нас есть две точки пересечения: A(1, -2) и B(0, 0).

Теперь вычислим площадь треугольника, образованного линиями 1, 2 и осью х.

Площадь треугольника равна половине произведения его базы и высоты. Базой будет отрезок между точками A и B, а высотой будет расстояние от точки C(0, 0) до прямой линии AB.

1. Найдем длину базы AB: Длина базы AB = |x_A - x_B| = |1 - 0| = 1

2. Найдем уравнение прямой AB, проходящей через точки A и B. Наклонная прямая AB имеет уравнение вида у = mx + b, где m - угловой коэффициент.

Угловой коэффициент m можно найти, зная координаты двух точек (x_A, y_A) и (x_B, y_B) на прямой AB: m = (y_B - y_A) / (x_B - x_A)

m = (0 - (-2)) / (0 - 1) = 2

Теперь используем точку A(1, -2) и найденный угловой коэффициент m: у = 2х + b

Подставим координаты точки A: -2 = 2 * 1 + b -2 = 2 + b b = -4

Таким образом, уравнение прямой AB: у = 2х - 4

3. Найдем расстояние от точки C(0, 0) до прямой AB: Расстояние d между точкой (x_C, y_C) и прямой у = mx + b: d = |y_C - (m * x_C + b)| / √(m^2 + 1)

d = |0 - (2 * 0 - 4)| / √(2^2 + 1) = |-4| / √5 = 4 / √5

Теперь, площадь треугольника S: S = (1/2) * base * height = (1/2) * 1 * (4 / √5) = 2 / √5

Таким образом, площадь между линиями х - 2у - 5 = 0, у = -2х и у = 0 составляет 2 / √5 (приблизительно 0.8944 квадратных единиц).