Question

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y=x+1/x+2 [-5;-2,5]

Answer 1

$y=\dfrac{x+1}{x+2}\\ y'=\dfrac{x+2-x-1}{(x+2)^2} =\dfrac{1}{(x+2)^2}$

стационарные точки отсутствуют

Считаем значения на концах отрезка

$y(-5)=\dfrac{-5+1}{-5+2}=\dfrac{4}{3} \ - \ min \\ y(-2,5)=\dfrac{-2,5+1}{-2,5+2}=\dfrac{-1,5}{-0,5} =3 \ - \ max$

Ответ: y(min)=4/3; y(max)=3

Answer 2

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции y = x + 1/x + 2 на интервале [-5, -2.5], мы сначала найдем значения функции в концах интервала, а затем найдем критические точки функции внутри этого интервала. Критические точки возникают там, где производная функции равна нулю или не существует.

1. Найдем значения функции в концах интервала: a) При x = -5: y = -5 + 1/(-5) + 2 = -5 - 1/5 + 2 = -3.2 b) При x = -2.5: y = -2.5 + 1/(-2.5) + 2 = -2.5 - 2/5 + 2 = -1.1

2. Теперь найдем производную функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки: y = x + 1/x + 2 dy/dx = 1 - 1/x^2

Приравняем производную к нулю и решим уравнение: 1 - 1/x^2 = 0 1/x^2 = 1 x^2 = 1 x = ±1

3. Найдем значения функции в критических точках: a) При x = 1: y = 1 + 1/1 + 2 = 1 + 1 + 2 = 4 b) При x = -1: y = -1 + 1/(-1) + 2 = -1 - 1 + 2 = 0

Теперь у нас есть значения функции в концах интервала и в критических точках: y(-5) = -3.2 y(-2.5) = -1.1 y(1) = 4 y(-1) = 0

Наименьшее значение функции на интервале [-5, -2.5] равно -3.2, и оно достигается при x = -5. Наибольшее значение функции на интервале [-5, -2.5] равно 4, и оно достигается при x = 1.