Question

ДАЮ 31 БАЛ, ПОМОГИТЕ СРОЧНООО Сторони трикутника дорівнюють 11 см, 13 см і 20 см. Через вершину найменшого кута проведено перпендикуляр до площини трикутника, а з його кінця, що не належить трикутнику, опущено перпендикуляр завдовжки 24 см на протилежну цьому куту сторону. Знайдіть довжину перпендикуляра, проведеного до площини трикутника. Стороны треугольника равны 11 см, 13 см и 20 см. Через вершину малейшего угла проведен перпендикуляр к плоскости треугольника, а с его конца, не принадлежит треугольнике, опущен перпендикуляр длиной 24 см на противоположную этом углу сторону. Найдите длину перпендикуляра, проведенного к плоскости треугольника.

Answer 1

ΔАВС , АВ=13 , АС=11 , ВС=20

Наименьший угол в треугольнике лежит против наименьшей стороны,

то есть ∠В - наименьший, сторона АС=11 - наименьшая.

ВМ ⊥ пл. АВС ⇒ ВМ ⊥ любой прямой , лежащей в пл. АВС, в том числе и высоте треугольника ВН, ВН ⊥ АС.

Тогда по теореме о трёх перпендикулярах МН⊥АС (ВН - проекция МН на пл. АВС) ⇒ МН=24.

Найдём ВН , используя две формулы нахождения площади ΔАВС.

S(ABC)=1/2*АС*ВН ⇒ ВН=2S/АС .

Полупериметр р=1/2*(11+13+20)=22 ,

S=√p*(p-a)(p-b)(p-c)=√(22*11*9*2)=66 .

ВН=2*66/11=12 .

ΔВМН: ∠МВН=90° , ВМ=√(МН²-ВН²)=√(24²-12²)=√432=12√3

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі ми можемо скористатися теоремою Піфагора та знаходження площі трикутника за формулою Герона.

1. Спочатку знайдемо площу трикутника. Нехай a = 11 см, b = 13 см, c = 20 см - довжини сторін трикутника.

Півпериметр трикутника p розраховується за формулою: p = (a + b + c) / 2

Площа трикутника S розраховується за формулою Герона: S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))

2. За теоремою Піфагора, можемо знайти довжину сторони трикутника, на яку опущений перпендикуляр. Позначимо її як d.

d² = b² + c² - 2bc * cos(A)

де A - маленький кут трикутника, і cos(A) можна знайти за допомогою теореми косинусів: cos(A) = (b² + c² - a²) / 2bc

3. Знаходимо довжину перпендикуляра, проведеного до площини трикутника, що йдеться в умові. Позначимо її як h.

S = (1/2) * d * h

h = 2S / d

4. Вже знаючи площу трикутника (S) та довжину перпендикуляра до сторони трикутника (h), знаходимо довжину перпендикуляра до площини трикутника.

Давайте виконаємо розрахунки:

1. Знаходимо півпериметр трикутника: p = (11 + 13 + 20) / 2 = 44 / 2 = 22 см

2. Знаходимо площу трикутника: S = √(22 * (22 - 11) * (22 - 13) * (22 - 20)) = √(22 * 11 * 9 * 2) = √(4356) ≈ 65.86 см²

3. Знаходимо косинус маленького кута A: cos(A) = (13² + 20² - 11²) / (2 * 13 * 20) = (169 + 400 - 121) / 520 = 448 / 520 ≈ 0.862

4. Знаходимо довжину сторони трикутника, на яку опущений перпендикуляр: d² = 13² + 20² - 2 * 13 * 20 * 0.862 ≈ 169 + 400 - 444.64 ≈ 124.36 d ≈ √124.36 ≈ 11.16 см

5. Знаходимо довжину перпендикуляра, проведеного до площини трикутника: h = 2 * 65.86 / 11.16 ≈ 11.76 см

Таким чином, довжина перпендикуляра, проведеного до площини трикутника, становить приблизно 11.76 см.