Question

Решить уравнение:4sin^2 х+cosx-3=0

Answer 1

1-4cos^2(x)-cos(x)=0                                                                                   
cos(x)=y                                                                                                      
y^2+(2/8)x=1/4  y^2+(2/8)x+1/64=17/64                                                                          
y1=-1/8(1-sqrt(17))                                                                                                                       y2=-1/8(1+sqrt(17))                                                                                                                         
х1=arccos(-1/8(1-sqrt(17)))+2pi*k                                                               
x2=arccos(1/8(1-sqrt(17)))+2pi*k                                                     
х1=arccos(-1/8(1+sqrt(17)))+2pi*k                                                            
х1=arccos(1/8(1+sqrt(17)))+2pi*k                                              
k-любое целое                                                                                  

Answer 2

Для решения уравнения 4sin^2(x) + cos(x) - 3 = 0, давайте введем замену:

Пусть u = sin(x), тогда sin^2(x) = u^2.

Теперь уравнение примет вид: 4u^2 + cos(x) - 3 = 0.

Итак, у нас теперь квадратное уравнение относительно u:

4u^2 + cos(x) - 3 = 0.

Сначала найдем значение cos(x) в терминах u:

Мы знаем, что cos^2(x) + sin^2(x) = 1. Подставим сюда наше выражение для sin^2(x):

cos^2(x) + u^2 = 1.

Теперь выразим cos(x):

cos^2(x) = 1 - u^2.

cos(x) = ±√(1 - u^2).

Теперь вернемся к нашему уравнению: 4u^2 + cos(x) - 3 = 0.

Подставим выражение для cos(x):

4u^2 + ±√(1 - u^2) - 3 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение относительно u.

4u^2 - 3 + ±√(1 - u^2) = 0.

Для решения удобно рассмотреть два случая: с плюсом и с минусом перед корнем.

Случай 1: "+" перед корнем:

4u^2 - 3 + √(1 - u^2) = 0.

Случай 2: "-" перед корнем:

4u^2 - 3 - √(1 - u^2) = 0.

Решим каждое уравнение относительно u.

Случай 1:

4u^2 - 3 + √(1 - u^2) = 0.

4u^2 = 3 - √(1 - u^2).

u^2 = (3 - √(1 - u^2)) / 4.

u = ±√((3 - √(1 - u^2)) / 4).

Теперь найдем значение sin(x) для каждого значения u:

sin(x) = ±√((3 - √(1 - u^2)) / 4).

Теперь найдем значение cos(x) для каждого значения u:

cos(x) = ±√(1 - u^2).

Таким образом, у нас есть 4 возможных решения для уравнения.

Случай 2:

4u^2 - 3 - √(1 - u^2) = 0.

4u^2 = 3 + √(1 - u^2).

u^2 = (3 + √(1 - u^2)) / 4.

Здесь нет реальных решений для u, так как выражение под корнем всегда неотрицательно и не может быть равно отрицательному числу.

Таким образом, у нас есть только 2 реальных решения для уравнения:

1. u = √((3 - √(1 - u^2)) / 4), тогда sin(x) = √((3 - √(1 - u^2)) / 4), и cos(x) = √(1 - u^2).

2. u = -√((3 - √(1 - u^2)) / 4), тогда sin(x) = -√((3 - √(1 - u^2)) / 4), и cos(x) = √(1 - u^2).

Пожалуйста, заметьте, что значение sin(x) и cos(x) может быть как положительным, так и отрицательным, так как у нас только изначальное уравнение без ограничений на угол x. Вы можете подставить полученные значения u в sin(x) и cos(x) для каждого из решений.