Question

Докажите тождество: sima+sin5a/cosa+cos5a=tg3a помогите пожалуйста

Answer 1

(sina+sin5a)/(cosa+cos5a)=(sin5a+sina)/(cos5a+cosa)=
=2*sin((5a+a)/2)*cos((5a-a)/2)/(2*cos(5a+a)/2)*cos(5a-a)/2)=
=2*sin3a*cos2a/(2*cos3a*aos2a)=sin3a/cos3a≡tg3a.

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны и преобразуем ее в тангенс суммы:

Дано:

$\frac{\sin a + \sin 5a}{\cos a + \cos 5a}$

Применим формулу синуса суммы:

$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$

$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$

Теперь, перепишем числитель и знаменатель с помощью формулы синуса суммы:

$\frac{(\sin a + \sin 5a)}{(\cos a + \cos 5a)} = \frac{2\sin(3a)\cos(2a)}{2\cos(3a)\cos(2a)}$

Сократим общие множители:

$\frac{(\sin a + \sin 5a)}{(\cos a + \cos 5a)} = \frac{\sin(3a)}{\cos(3a)}$

Теперь применим тригонометрическую формулу тангенса суммы:

$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$

В данном случае, A = 3a и B = 0:

$\tan(3a) = \frac{\tan(3a) + \tan(0)}{1 - \tan(3a) \tan(0)}$

Так как $\tan(0) = 0$, упростим:

$\tan(3a) = \frac{\tan(3a)}{1}$

Теперь мы видим, что левая сторона равна правой стороне тождества:

$\frac{\sin a + \sin 5a}{\cos a + \cos 5a} = \tan(3a)$

Таким образом, тождество доказано.