Question

Докажите тождество: sina+ sin3a+ sin5a/ cosa+ cos3a+cos5a =tg3a. ПОМОГИТЕ СРОЧНО ПЛИИИЗ ❗

Answer 1

$\frac{Sin\alpha+Sin3\alpha+Sin5\alpha }{Cos\alpha+Cos3\alpha+Cos5\alpha} =\frac{(Sin\alpha+Sin5\alpha)+Sin3\alpha}{(Cos\alpha+Cos5\alpha)+Cos3\alpha}=\frac{2Sin\frac{\alpha+5\alpha}{2}Cos\frac{\alpha-5\alpha}{2}+Sin3\alpha}{2Cos\frac{\alpha+5\alpha}{2}Cos\frac{\alpha-5\alpha}{2}+Cos3\alpha} =\\\\=\frac{Sin3\alpha Cos2\alpha+Sin3\alpha}{Cos3\alpha Cos2\alpha+Cos3\alpha} =\frac{Sin3\alpha(Cos2\alpha+1)}{Cos3\alpha(Cos2\alpha+1} =\frac{Sin3\alpha }{Cos3\alpha }=tg3\alpha\\\\tg3\alpha=tg3\alpha$

Тождество доказано

Answer 2

Для доказательства данного тождества воспользуемся тригонометрическими идентичностями. Сначала выразим числитель в левой части уравнения через сумму и разность синусов:

$$\begin{align*} \sin a + \sin 3a + \sin 5a &= \sin a + (\sin 2a \cos a + \cos 2a \sin a) + (\sin 2a \cos 3a + \cos 2a \sin 3a) \\ &= \sin a + 2\sin a \cos a + 2\sin 3a \cos 2a. \end{align*}$$

Теперь выразим знаменатель через сумму и разность косинусов:

$$\begin{align*} \cos a + \cos 3a + \cos 5a &= \cos a + (\cos 2a \cos a - \sin 2a \sin a) + (\cos 2a \cos 3a - \sin 2a \sin 3a) \\ &= \cos a + 2\cos a \cos 2a - 2\sin a \sin 3a. \end{align*}$$

Теперь подставим эти выражения обратно в левую часть уравнения:

$$\begin{align*} \frac{\sin a + \sin 3a + \sin 5a}{\cos a + \cos 3a + \cos 5a} &= \frac{\sin a + 2\sin a \cos a + 2\sin 3a \cos 2a}{\cos a + 2\cos a \cos 2a - 2\sin a \sin 3a}. \end{align*}$$

Теперь применим тригонометрические идентичности для тангенса утроенного угла:

$$\tan 3a = \frac{3\tan a - \tan^3 a}{1 - 3\tan^2 a}.$$

Разделим числитель и знаменатель на $2\cos a$:

$$\begin{align*} \frac{\sin a + 2\sin a \cos a + 2\sin 3a \cos 2a}{\cos a + 2\cos a \cos 2a - 2\sin a \sin 3a} &= \frac{\frac{\sin a}{2\cos a} + \sin a + \sin 3a \cos 2a}{\frac{\cos a}{2\cos a} + \cos a \cos 2a - \sin a \sin 3a} \\ &= \frac{\tan\left(\frac{a}{2}\right) + \sin a + \sin 3a \cos 2a}{\frac{1}{2} + \cos a \cos 2a - \sin a \sin 3a}. \end{align*}$$

Теперь мы можем воспользоваться тригонометрической идентичностью для $\tan 3a$:

$$\tan 3a = \frac{3\tan a - \tan^3 a}{1 - 3\tan^2 a},$$

и подставить вместо $\tan 3a$ в нашем выражении:

\frac{\tan\left(\frac{a}{2}\) + \sin a + \sin 3a \cos 2a}{\frac{1}{2} + \cos a \cos 2a - \sin a \sin 3a} = \frac{\tan\left(\frac{a}{2}\right) + \sin a + \sin 3a \cos 2a}{\frac{1}{2} + \cos a \cos 2a - \sin a \sin 3a} = \frac{3\tan a - \tan^3 a}{1 - 3\tan^2 a} = \tan 3a.

Таким образом, мы доказали данное тождество:

$$\frac{\sin a + \sin 3a + \sin 5a}{\cos a + \cos 3a + \cos 5a} = \tan 3a.$$