Question

Решите уравнение √2*sin(2x+pi/4)+√2sinx=cos2x+1

Answer 1

Sin(2ч+pi/4) выносим =√2sinx она перейдет со знаком - cos2x разложим cos удвоенный угол cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)+1 что бы избавится от корня квадратного можно возвести в квадрат √2*sin(2x+pi/4)=cos2x+1-√2sinx смотрим таблицу pi/4 и заменяем

Answer 2

Для решения уравнения √2sin(2x+π/4)+√2sinx=cos2x+1, начнем с преобразования уравнения, чтобы выразить все тригонометрические функции через sin и cos.

Заменим √2 на значение sin(π/4) и упростим выражение:

sin(2x+π/4) + sin(x) = cos(2x) + 1

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами для суммы и разности синусов:

sin(A + B) = sin(A) * cos(B) + cos(A) * sin(B) sin(A - B) = sin(A) * cos(B) - cos(A) * sin(B)

Используя тождества, перепишем левую часть уравнения:

sin(2x + π/4) + sin(x) = (sin(2x) * cos(π/4) + cos(2x) * sin(π/4)) + sin(x) = (√2/2 * sin(2x) + √2/2 * cos(2x)) + sin(x)

Теперь уравнение имеет вид:

(√2/2 * sin(2x) + √2/2 * cos(2x)) + sin(x) = cos(2x) + 1

Теперь выразим cos(2x) через sin(2x) с использованием тригонометрического тождества:

cos(2x) = 1 - 2 * sin^2(x)

Подставим это значение в уравнение:

(√2/2 * sin(2x) + √2/2 * (1 - 2 * sin^2(x))) + sin(x) = 1 - 2 * sin^2(x) + 1

Теперь соберем все члены с sin(x) и sin(2x) в одну часть уравнения:

√2/2 * sin(2x) - 2 * √2/2 * sin^2(x) + sin(x) = 2 - 2 * sin^2(x)

Упростим:

√2/2 * sin(2x) - √2 * sin^2(x) + sin(x) = 2 - 2 * sin^2(x)

Теперь приведем все к общему знаменателю:

√2 * sin(2x) - 2 * √2 * sin^2(x) + 2 * sin(x) = 4 - 4 * sin^2(x)

Теперь перенесем все члены в одну часть уравнения:

√2 * sin(2x) - 2 * √2 * sin^2(x) + 2 * sin(x) - 4 + 4 * sin^2(x) = 0

Упростим еще раз:

√2 * sin(2x) + 2 * sin(x) + 2 * √2 * sin^2(x) - 4 * sin^2(x) - 4 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x):

(2 * √2 - 4) * sin^2(x) + √2 * sin(2x) + 2 * sin(x) - 4 = 0

Чтобы решить это квадратное уравнение, можно ввести замену y = sin(x) и решить уравнение относительно y. После получения решений для y, можно вернуться к sin(x) и решить уравнение относительно x.

Обратите внимание, что на данном этапе уравнение становится довольно сложным и требует численных методов для точного решения. Чтобы продолжить решение, нужно применить численные методы, например, метод Ньютона или метод половинного деления, чтобы найти значения sin(x) и, соответственно, x, которые удовлетворяют уравнению.