Question

В десятизначном числе все цифры встречаются по разу . Может ли оно делится на 11?

Answer 1

 Да, по признаку делимости на 11 , сумма цифр стоящих на нечетных местах и на четных должна быть равна или больше или меньше на 11 
 Так как сумма цифр равна 
 1+2+3+4+5+6+7+9+0=45
 То всего две пары чисел (нечетные места) - (четные) = 0 или 11 
 очевидно что числа равняться не могут так как сумма равна 45, а 45/2 не целое. 
 Значит (нечетные места) - (четные места) = 11 или наоборот 
  Положим что сумма цифра на одной из них равна x тогда на другой y 
  Откуда 
  x+y=45 
  x-y=11 
 или 
 x=28 
 y=17 
  
 То есть надо подобрать числа так чтобы сумма цифр равнялась 28 в одной  группе и 17  
 Подходит вариант    
 9+8+7+3+1=28  
 0+2+4+5+6=17  
 То есть к примеру число 9082743516 

Answer 2

Да, десятизначное число, в котором все цифры встречаются по одному разу, может делиться на 11.

Для того чтобы определить, делится ли данное число на 11, можно воспользоваться правилом делимости на 11:

Если разность суммы цифр, стоящих на четных позициях, и суммы цифр, стоящих на нечетных позициях, кратна 11, то число делится на 11.

Например, рассмотрим число 1234567890:

Сумма цифр на четных позициях: 2 + 4 + 6 + 8 + 0 = 20 Сумма цифр на нечетных позициях: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Разность между этими суммами: 25 - 20 = 5

Таким образом, число 1234567890 не делится на 11.

Однако, если все цифры встречаются по разу в десятизначном числе, это может быть такое число: 1234567890, где разность между суммами цифр на четных и нечетных позициях будет равна 0:

Сумма цифр на четных позициях: 2 + 4 + 6 + 8 + 0 = 20 Сумма цифр на нечетных позициях: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Разность между этими суммами: 25 - 20 = 0

Поэтому, число 1234567890 делится на 11.