Question

Семиклассник Вася Иванов переставил цифры в некотором числе, после чего полученное число сложил с исходным. В ответе у него получилось число 99…99 (99 раз). Учитель математики Иван Васильевич сказал, что ответ неверен. Вася очень обиделся на своего учителя – ведь Иван Васильевич не видел Васиного решения! Кто прав: Вася или его учитель?

Answer 1

Учитель прав.

Если сумма двух чисел оканчивается на 9, то сумма цифр, стоящих в этих числах в разряде единиц, равна 9, так как сумма двух цифр не может равняться 19. Продолжая такие рассуждения, получаем, что если сумма двух чисел состоит только из девяток, то все поразрядные суммы равны 9.

Обозначим за S сумму цифр в исходном числе, тогда в числе с переставленными цифрами сумма тоже S, а в их сумме, согласно написанному выше, сумма цифр равна 2S – чётному числу. Но в результате Васи сумма цифр равна 9 * 99 – сумма цифр нечётна, чего быть не может.

Answer 2

Давайте разберемся в этой задаче. Предположим, что исходное число, которое Вася переставил, состоит из n цифр. После перестановки цифр и сложения с исходным числом у нас получается число, состоящее из n цифр '9'.

Обозначим исходное число через ABCDE...Z (где A, B, C, D, ..., Z - это цифры, составляющие исходное число). Тогда переставленное число будет выглядеть как ZYXWV...EDCBA (цифры идут в обратном порядке).

Теперь сложим эти два числа:

ABC...Z

• ZYX...DCBA

---

999...9 (99 раз)

Рассмотрим сложение цифр на каждой позиции:

A + Z = 9 B + Y = 9 C + X = 9 ... Z + A = 9

Итак, на каждой позиции сумма цифр равна 9. Заметим, что если сумма двух цифр на позиции больше или равна 10, то в результате сложения мы получим единицу на данной позиции и единицу на следующей позиции. Но так как на каждой позиции у нас получается 9, а максимальная сумма двух цифр (9 + 9) равна 18, то никаких переносов не возникает, и все числа складываются корректно.

Таким образом, ответ Васи верен, и учитель Иван Васильевич ошибается. Ответ, который получил Вася, является верным, и задача имеет решение.