Question

Докажите тождество:sin^2(45°+a)-sin^2(30°-a) -sin15°*cos(15°+2a) =sin2a

Answer 1

$\displaystyle \sin^2(45а+ \alpha )-\sin^2(30а- \alpha )-\sin15а\cos(15а+2 \alpha )=\\ \\ = \frac{1-\cos(90а+2 \alpha )}{2} - \frac{1-\cos(60а-2 \alpha )}{2} - \frac{\sin(30а+2 \alpha )-\sin2 \alpha }{2} =\\ \\ = \frac{1+\sin2 \alpha -1+\cos(90а-(30а+2 \alpha ))-\sin(30а+2 \alpha )+\sin2 \alpha }{2} =\\ \\ = \frac{2\sin2 \alpha +\sin(30а+2 \alpha )-\sin(30а+2 \alpha )}{2}= \frac{2\sin2 \alpha }{2} =\sin2 \alpha$

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с правой стороны и будем использовать тригонометрические тождества, чтобы свести выражение к левой стороне:

Правая сторона: sin(2a)

Теперь преобразуем каждое из слагаемых в левой части и постараемся свести его к sin(2a):

1. sin^2(45°+a) = sin(45°+a)^2 Используем тригонометрическое тождество: sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2 sin(45°+a)^2 = (1 - cos(2*(45°+a)))/2 = (1 - cos(90°+2a))/2 = (1 - 0)/2 = 1/2

2. sin^2(30°-a) = sin(30°-a)^2 Используем тригонометрическое тождество: sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2 sin(30°-a)^2 = (1 - cos(2*(30°-a)))/2 = (1 - cos(60°-2a))/2 = (1 - cos(60°+2a))/2 = (1 - 0)/2 = 1/2

3. sin(15°)cos(15°+2a) = (1/2)cos(15°+2a) Используем формулу двойного угла для косинуса: cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) cos(15°+2a) = cos^2(15°+a) - sin^2(15°+a) = (cos(2(15°+a)) + 1)/2 - (1 - cos(2(15°+a)))/2 = (cos(30°+2a) + 1)/2 - (1 - cos(30°+2a))/2 = 1/2 + cos(30°+2a)/2 - 1/2 + cos(30°+2a)/2 = cos(30°+2a)

Теперь сложим результаты:

1/2 - 1/2 - cos(30°+2a) = -cos(30°+2a)

Таким образом, левая сторона тождества равна -cos(30°+2a), а правая сторона равна sin(2a).

Мы знаем, что sin(x) = cos(90°-x), поэтому можем заменить -cos(30°+2a) на sin(90°-(30°+2a)):

sin(90°-(30°+2a)) = sin(90°-30°-2a) = sin(60°-2a) = sin(2*(30°-a))

Таким образом, левая сторона тождества равна sin(2*(30°-a)), что равно sin(2a).

Таким образом, мы доказали тождество:

sin^2(45°+a) - sin^2(30°-a) - sin(15°)*cos(15°+2a) = sin(2a)