Question

Верно ли, что если (a,b)=(a,c) для любого вектора a (b и c фиксированы), то b=c? Докажите.

Answer 1

Верно.

Из того, что $\vec a\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec c$, следует, что $\vec a\cdot(\vec b-\vec c)=0$. Подставим $\vec a=\vec b-\vec c$, получим $(\vec b-\vec c)^2=0$, откуда $\vec b-\vec c=\vec 0$, $\vec b=\vec c$

Answer 2

Да, верно, что если для любого вектора a выполняется равенство (a, b) = (a, c), то это означает, что b и c равны. Давайте докажем это утверждение.

Допустим, у нас есть два фиксированных вектора b и c, и для любого вектора a выполняется равенство (a, b) = (a, c).

Для начала, вспомним свойства скалярного произведения векторов:

1. (a, b) = (b, a) - симметричность;
2. (ka, b) = k(a, b) - линейность по первому аргументу;
3. (a + b, c) = (a, c) + (b, c) - линейность по второму аргументу, где a, b и c - произвольные векторы, а k - произвольное число.

Теперь, используем свойство симметричности и линейности по первому аргументу:

Для любого вектора a: (a, b) = (b, a) и (a, c) = (c, a).

Теперь воспользуемся свойством линейности по второму аргументу:

(a, b) - (a, c) = (b, a) - (c, a).

Теперь заметим, что можно поменять местами векторы b и c:

(b, a) - (c, a) = (a, b) - (a, c).

Теперь воспользуемся свойством симметричности:

(a, b) - (a, c) = (a, b) - (a, c).

Здесь видим, что слева и справа стоит одно и то же выражение. Теперь вычтем его из обеих частей:

(a, b) - (a, b) - (a, c) + (a, c) = 0.

Теперь сложим обратные элементы и вычтем 0:

(a, b - b) + (a, c - c) = 0.

Так как для любого вектора a выполняется это равенство, то для всех векторов a, b - c = 0.

Это означает, что вектор b - c равен нулевому вектору, то есть b - c = 0.

Теперь добавим c к обеим сторонам:

b - c + c = 0 + c.

b = c.

Таким образом, мы доказали, что если (a, b) = (a, c) для любого вектора a, то b = c.