Question

Решите уравнение -2sinx=-√3. cos2x-sinx=0

Answer 1

1.-2sin (x)=- $\sqrt{3}$
Разделить обе стороны уравнения на -2:
sin (x)= $\frac{\sqrt{3}}{2}$;
Поскольку sin (t)=sin(π-t),уравнение имеет 2 решения:
sin (x)= $\frac{\sqrt{3}}{2}$
sin (π-x)= $\frac{\sqrt{3}}{2}$;
Чтобы изолировать x/π-x,нужно использовать обратную тригонометрическую функцию:
x=arcsin ( $\frac{\sqrt{3}}{2}$)
x=arcsin ( $\frac{\sqrt{3}}{2}$);
Используя таблицу значений тригонометрических функций или единичную окружность,найдём значение arcsin( $\frac{\sqrt{3}}{2}$):
x= $\frac{\pi}{3}$
π-x= $\frac{\pi}{3}$;
Поскольку sin (x/π-x) является периодической функцией,нужно добавить период 2kπ,k∈Z для нахождения всех решений:
x= $\frac{\pi}{3}$+2kπ,k∈Z
π-x= $\frac{\pi}{3}$+2kπ,k∈Z;
Решить уравнение относительно x:
x= $\frac{\pi}{3}$+2kπ,k∈Z      остаётся
x= $\frac{2\pi}{3}$-2kπ,k∈Z;
Т.к. k∈Z,то -2kπ=2kπ:
x= $\frac{2\pi}{3}$+2kπ,k∈Z
x= $\frac{2\pi}{3}$+2kπ,k∈Z;
Окончательное решение:
x= $\left \{ {{\frac{\pi}{3}+2k\pi} \atop {\frac{2\pi}{3}}+2k\pi} \right.$, k∈Z.
2.cos (2x)-sin (x)=0
Используя cos (2t)=1-2sin (t²),записать выражение в развёрнутом виде:
1-2sin (x)²-sin (x)=0;
Решить уравнение используя подстановку t=sin (x):
1-2t²-t=0;
Решить уравнение относительно t:
t= $\frac{1}{2}$
t=-1;
Сделать обратную подстановку t=sin (x):
sin (x)= $\frac{1}{2}$
sin (x)=-1;
Решить уравнение относительно x:
x= $\frac{\pi}{6} +2k\pi$, k∈Z,
x= $\frac{5\pi}{6} +2k\pi$, k∈Z
x= $\frac{3\pi}{2} +2k\pi$, k∈Z;
Найти объединение:
x= $\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}$, k∈Z

Answer 2

Для решения уравнения -2sin(x) = -√3, давайте преобразуем его и найдем значения x.

1. Решение уравнения -2sin(x) = -√3: Делим обе части уравнения на -2: sin(x) = √3/2

Так как sin(π/3) = √3/2, то у нас есть одно решение: x = π/3 + 2πk, где k - любое целое число.

2. Решение уравнения cos(2x) - sin(x) = 0: Для удобства, заменим cos(2x) на выражение с использованием формулы двойного угла: cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)

Теперь подставим это в исходное уравнение: 1 - 2sin^2(x) - sin(x) = 0

Приведем уравнение к квадратному виду: 2sin^2(x) + sin(x) - 1 = 0

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 2, b = 1, c = -1 Дискриминант (D) = b^2 - 4ac D = 1^2 - 4 * 2 * (-1) D = 1 + 8 D = 9

Так как D > 0, у нас есть два действительных корня: sin(x) = (-b ± √D) / 2a sin(x) = (-1 ± √9) / 4 sin(x) = (-1 ± 3) / 4

1. Первый корень: sin(x) = (3 - 1) / 4 sin(x) = 2 / 4 sin(x) = 1/2

Так как sin(π/6) = 1/2, то первое решение: x = π/6 + 2πk, где k - любое целое число.

2. Второй корень: sin(x) = (-3 - 1) / 4 sin(x) = -4 / 4 sin(x) = -1

Так как sin(-π/2) = -1, то второе решение: x = -π/2 + 2πk, где k - любое целое число.

Таким образом, уравнение cos(2x) - sin(x) = 0 имеет два решения:

1. x = π/6 + 2πk, где k - любое целое число.
2. x = -π/2 + 2πk, где k - любое целое число.