Question

Задача № 18 из егэ 2018 (x+ay-4)(x+ay-4a)=0 x^2+y^2=9 Нужно найти все значения "а" при которых есть 4 решения. Обязательно рисунок и пояснение как нашли.

Answer 1

В данном случае, удобнее решать не графически.
С первого уравнения
y=(4-x)/a и y=(4a-x)/a
Подсталвяя первую и вторую “y” во второе, откуда
{x^2+(4-a)^2/a^2=9
{x^2+(4a-x)^2/a^2=9

Два квадратных уравнения, должны иметь решения.

{x^2(a^2+1)-8x+16-9a^2=0
{x^2(a^2+1)-8ax+7a^2=0

{D1=64-4*(a^2+1)*(16-9a^2)>0
{D2=64a^2-4(a^2+1)*7a^2>0
Условие D>0 ( два корня )

{9a^4>7a^2
{9a^2>7a^4

{9a^2-7>0
{9-7a^2>0
При a=1 прямые совпадают, значит a не равна 1
Откуда
a E ( -3/sqrt(7), -7/sqrt(3)) U (7/sqrt(3), 1) U (1, 3/sqrt(7))

Answer 2

Для нахождения всех значений "а", при которых уравнение имеет 4 решения, нужно рассмотреть два уравнения:

1. (x + ay - 4)(x + ay - 4a) = 0
2. x^2 + y^2 = 9

Для начала, рассмотрим уравнение (1) и найдем его решения. Для этого произведем раскрытие скобок:

(x + ay - 4)(x + ay - 4a) = 0 x^2 + (ay - 4x) + (ay - 4a)x + a^2y^2 - 4ay - 4ax + 16a = 0

Упростим уравнение:

x^2 + 2axy - 4x - 4ay + a^2y^2 - 4ax + 16a = 0 x^2 + (2ay - 4)x + (a^2y^2 - 4ay + 16a) = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно переменной "x". Чтобы имелось ровно 4 решения, дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю:

D = b^2 - 4ac = (2ay - 4)^2 - 4 * 1 * (a^2y^2 - 4ay + 16a) = 0

Раскроем скобки:

4a^2y^2 - 16ay + 16 - 4a^2y^2 + 16ay - 64a = 0

Теперь упростим уравнение:

-48a + 16 = 0 48a = 16 a = 16 / 48 a = 1/3

Таким образом, при значении "a" равном 1/3 уравнение (1) имеет 4 решения.

Далее, чтобы удовлетворить уравнению (2) x^2 + y^2 = 9, мы должны найти соответствующие значения "x" и "y". Подставим "a" равное 1/3 в уравнение (1):

(x + (1/3)y - 4)(x + (1/3)y - 4(1/3)) = 0 (x + (1/3)y - 4)(x + (1/3)y - 4/3) = 0

Таким образом, у нас есть два уравнения:

1. x + (1/3)y - 4 = 0
2. x + (1/3)y - 4/3 = 0

Решим уравнение (1) относительно "x":

x = 4 - (1/3)y

Подставим это значение "x" в уравнение (2):

(4 - (1/3)y)^2 + y^2 = 9 16 - (8/3)y + (1/9)y^2 + y^2 = 9 (10/9)y^2 - (8/3)y + 7 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно "y". Чтобы у него было 2 решения, дискриминант должен быть положительным:

D = b^2 - 4ac = (-8/3)^2 - 4 * (10/9) * 7 = 64/9 - 280/9 = -216/9 = -24

Так как дискриминант отрицательный, у нас нет дополнительных решений для "y", следовательно, уравнение (2) имеет всего два решения при "a" равном 1/3.

Таким образом, нет значений "а", при которых уравнение (1) имеет 4 решения и одновременно удовлетворяет уравнению (2) x^2 + y^2 = 9.

Графически это можно проиллюстрировать на координатной плоскости, где уравнение x^2 + y^2 = 9 представляет окружность с центром в начале координат (0, 0) и радиусом 3. Уравнение (1) определяет две прямые, но при всех значениях "а" они пересекают окружность только в двух точках. При "a" равном 1/3 прямые касаются окружности, но не пересекаются с ней.

Итак, нет таких значений "а", при которых система имеет 4 решения.