Question

Найдите все первообразные функции y=cos(3x+4) Найти диаметр шара, если его объем равен 2048×П÷3

Answer 1

#2..........................

Answer 2

Чтобы найти все первообразные функции $y = \cos(3x + 4)$, мы должны найти функцию $F(x)$, производная которой равна $\cos(3x + 4)$. Первообразная функция $F(x)$ будет иметь вид:

$F(x) = \int \cos(3x + 4) \, dx$

Для вычисления этого интеграла используем метод интегрирования по частям. Для удобства, заменим $u = 3x + 4$ и $dv = \cos(3x + 4) \, dx$. Тогда $du = 3 \, dx$ и $v = \int \cos(3x + 4) \, dx$.

$F(x) = \int \cos(3x + 4) \, dx = \int v \, du = uv - \int v \, du = (3x + 4)\cos(3x + 4) - \int (3 \, dx) \cos(3x + 4)$

$F(x) = (3x + 4)\cos(3x + 4) - 3\int \cos(3x + 4) \, dx$

Теперь у нас появился ещё один интеграл $\int \cos(3x + 4) \, dx$ справа. Чтобы решить это уравнение, перенесём его в левую часть:

$F(x) + 3\int \cos(3x + 4) \, dx = (3x + 4)\cos(3x + 4)$

Теперь разделим на $1 + 3$:

$F(x) = \frac{3x + 4}{3}\cos(3x + 4)$

Таким образом, первообразной функцией для $y = \cos(3x + 4)$ является:

$F(x) = \frac{3x + 4}{3}\cos(3x + 4) + C$

где $C$ - произвольная постоянная.

Теперь давайте рассмотрим второй вопрос о шаре.

Объем $V$ шара равен:

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$

где $r$ - радиус шара.

Диаметр $D$ связан с радиусом $r$ следующим образом:

$D = 2r$

Теперь у нас дан объем шара:

$V = 2048 \cdot \frac{\pi}{3}$

Используем это, чтобы найти радиус $r$:

$2048 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{4}{3}\pi r^3$

Теперь избавимся от $\pi$ и решим уравнение для $r$:

$r^3 = \frac{2048 \cdot \frac{3}{4}}{\frac{1}{3}} = 2048 \cdot 3 = 6144$

$r = \sqrt[3]{6144} = 8$

Теперь, чтобы найти диаметр $D$, умножим радиус $r$ на 2:

$D = 2 \cdot 8 = 16$

Таким образом, диаметр шара равен 16.