Question

Докажите тождество :ctga/tga+ctga=cos^2a

Answer 1

$\frac{ctga}{tga+ctga} = \frac{ctga}{ \frac{sina}{cosa} + \frac{cosa}{sina} } = \frac{ctga}{ \frac{sin^2 a+ cos^2 a}{cosa *sina} } = \\ \\ = \frac{ \frac{cosa}{sina} }{ \frac{1}{cosa* sina} } = \frac{cosa}{sina}* cosa *sina = cos^2 a$

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны выражения и преобразуем его в правую сторону, используя тригонометрические тождества. Предположим, что a не равно кратным pi (a ≠ n * pi), так как в таких случаях знаменатель обращается в нуль.

Левая сторона: ctg(a)/tg(a) + ctg(a) Преобразуем:

1. Заменим ctg(a) на 1/tg(a):

1/tg(a) + ctg(a)

2. Приведем дроби к общему знаменателю (tg(a)):

(1 + tg^2(a))/tg(a)

3. Используем тригонометрическое тождество: 1 + tg^2(a) = sec^2(a)

(sec^2(a))/tg(a)

4. Используем тригонометрическое тождество: sec(a) = 1/cos(a):

(sec^2(a))/tg(a) = (1/cos^2(a))/tg(a)

5. Преобразуем деление на умножение, меняя знак делителя:

(1/cos^2(a)) * (1/tg(a))

6. Используем тригонометрическое тождество: tg(a) = sin(a)/cos(a):

(1/cos^2(a)) * (1/(sin(a)/cos(a)))

7. Упростим:

(1/cos^2(a)) * (cos(a)/sin(a))

8. Сократим cos(a) в числителе и знаменателе:

1/sin(a) = csc(a)

Теперь левая сторона стала равна csc(a).

Правая сторона: cos^2(a)

Таким образом, мы доказали, что csc(a) = cos^2(a) при условии, что a не равно кратным pi (a ≠ n * pi).