Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке y=x^4-2x^2+3 х є (1. 3)

Answer 1

Y'=4х³-4х
у'=0
4х³-4х=0
4х(х²-1)=0
х1=0
(х-1)(х+1)=0
х2=1
х3=-1
в данный промежуток попадает только х=1.
у(1)=1⁴-2*1²+3=1-2+3=2
у(3)=3⁴-2*3²+3=81-18+8=71
у min=y(1)=2
y max=y(3)=71

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y=x^4-2x^2+3$ на заданном промежутке $[1, 3]$, следует выполнить следующие шаги:

1. Найти критические точки функции в данном промежутке, т.е. точки, где производная функции равна нулю или не существует.
2. Определить значения функции в найденных критических точках и на границах промежутка.
3. Сравнить значения функции, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения.

Шаг 1: Найдем производную функции $y=x^4-2x^2+3$:

$y'(x) = 4x^3 - 4x$

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

$4x^3 - 4x = 0$

$4x(x^2 - 1) = 0$

Из этого уравнения получаем две критические точки: $x = 0$ и $x = \pm 1$.

Шаг 3: Теперь найдем значения функции в критических точках и на границах промежутка $[1, 3]$:

• Подставим $x = 0$: $y(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 3 = 3$

• Подставим $x = 1$: $y(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 3 = 2$

• Подставим $x = -1$: $y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 2$

• Подставим $x = 3$: $y(3) = 3^4 - 2(3)^2 + 3 = 66$

Теперь сравним полученные значения функции:

Наименьшее значение: $y_{\text{min}} = 2$ (достигается при $x = 1$ или $x = -1$).

Наибольшее значение: $y_{\text{max}} = 66$ (достигается при $x = 3$).

Таким образом, на промежутке $[1, 3]$ наименьшее значение функции $y=x^4-2x^2+3$ равно 2, а наибольшее значение равно 66.