Question

Найти наибольшее значение функции y=x^2+25/x на отрезке [-10;-1]

Answer 1

$y=\frac{x^2+25}{x}\; ,\; \; x\in [-10,-1\, ]\\\\ODZ:\; \; x\ne 0\\\\y'=\frac{2x\cdot x-(x^2+25)\cdot 1}{x^2}=\frac{x^2-25}{x^2}=\frac{(x-5)(x+5)}{x^2}=0\; \; \to \; \; \left \{ {{(x-5)(x+5)=0} \atop {x\ne 0}} \right.\\\\x_1=-5\; ,\; \; x_2=5\\\\Znaki\; y':\; \; +++(-5)---(0)---(5)+++\\\\.\qquad\qquad \qquad \nearrow \; \; (-5)\; \; \searrow \; \; (0)\; \; \searrow \quad (5)\; \; \; \nearrow \\\\x_{max}=-5\; ,\; \; x_{min}=5\\\\x\in [-10,-1\, ]:\\\\y(-10)=\frac{100+25}{-10}=-12,5\\\\y(-5)=\frac{25+25}{-5}=-10\\\\y(-1)=\frac{1+25}{-1}=-26\\\\y_{naiboishee}=y(-5)=-10$

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции y = x^2 + 25/x на отрезке [-10; -1], нужно найти точку, в которой функция достигает своего максимума. Это может быть точка экстремума (точка, где производная равна нулю) или концы интервала.

Шаги решения:

1. Найдем производную функции y по x.

2. Решим уравнение y'(x) = 0, чтобы найти точки экстремума (если они есть) на интервале [-10; -1].

3. Вычислим значения функции в найденных точках и на концах интервала [-10; -1].

4. Найдем наибольшее значение среди всех полученных значений.

5. Найдем производную функции y по x:

y = x^2 + 25/x

y' = d/dx (x^2) + d/dx (25/x) y' = 2x - 25/x^2

2. Решим уравнение y'(x) = 0:

2x - 25/x^2 = 0

Умножим обе стороны на x^2, чтобы избавиться от знаменателя:

2x^3 - 25 = 0

3. Теперь найдем значения функции в найденных точках и на концах интервала:

Подставим x = -10:

y(-10) = (-10)^2 + 25/(-10) = 100 - 2.5 = 97.5

Подставим x = -1:

y(-1) = (-1)^2 + 25/(-1) = 1 - 25 = -24

Найденные точки экстремума нам не подходят, так как в данном случае функция достигает минимума, а не максимума.

Теперь осталось проверить крайние точки интервала:

Подставим x = -10:

y(-10) = (-10)^2 + 25/(-10) = 97.5

Подставим x = -1:

y(-1) = (-1)^2 + 25/(-1) = -24

4. Найдем наибольшее значение среди всех полученных значений:

Максимальное значение функции на интервале [-10; -1] равно 97.5, и оно достигается при x = -10.

Итак, наибольшее значение функции y = x^2 + 25/x на отрезке [-10; -1] равно 97.5, и оно достигается при x = -10.