Question

Исследуйте экстремум функций y=x^3-3x

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для исследования экстремумов функции y = x^3 - 3x, мы должны найти точки, в которых производная функции равна нулю. Это могут быть локальные максимумы или минимумы.

Шаги для исследования экстремумов:

1. Найдите производную функции y по x.
2. Решите уравнение производной, приравняв ее к нулю, чтобы найти критические точки.
3. Используйте тест первой производной или второй производной, чтобы определить характер экстремума в каждой критической точке.

Шаг 1: Найдем производную функции y = x^3 - 3x.

dy/dx = 3x^2 - 3

Шаг 2: Решим уравнение dy/dx = 0, чтобы найти критические точки:

3x^2 - 3 = 0

3x^2 = 3

x^2 = 1

x = ±√1

x = ±1

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 1 и x = -1.

Шаг 3: Применим тест первой производной, чтобы определить характер экстремума в каждой критической точке:

• При x < -1: Выберем точку, например, x = -2, и подставим ее в производную: dy/dx = 3(-2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9 (положительное число)

При x меньше -1, производная больше нуля, что означает, что функция убывает.

• При -1 < x < 1: Выберем точку, например, x = 0, и подставим ее в производную: dy/dx = 3(0)^2 - 3 = 3(0) - 3 = 0 - 3 = -3 (отрицательное число)

При -1 < x < 1, производная меньше нуля, что означает, что функция возрастает.

• При x > 1: Выберем точку, например, x = 2, и подставим ее в производную: dy/dx = 3(2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9 (положительное число)

При x больше 1, производная больше нуля, что означает, что функция убывает.

Итак, у нас есть следующие результаты:

• В точке x = -1 функция имеет локальный максимум.
• В точке x = 1 функция имеет локальный минимум.

Для полноты картины, также можно проверить вторую производную, чтобы подтвердить, что точки действительно являются экстремумами. Вторая производная функции y = x^3 - 3x равна:

d^2y/dx^2 = 6x

• При x = -1: d^2y/dx^2 = 6(-1) = -6 (отрицательное число). Это значит, что функция имеет выпуклость вниз, подтверждая, что у нас есть локальный максимум в x = -1.
• При x = 1: d^2y/dx^2 = 6(1) = 6 (положительное число). Это значит, что функция имеет выпуклость вверх, подтверждая, что у нас есть локальный минимум в x = 1.

Таким образом, функция y = x^3 - 3x имеет локальный максимум в точке x = -1 и локальный минимум в точке x = 1.