Question

2(x+2x^2+3x^3+4x^4+5x^5+...+nx^n)

Answer 1

Обозначим $S = 2(x + 2x^2 + 3x^3 + ... + n x^n)$. Тогда $xS = 2(x^2 + 2x^3 + 3x^4 + ... + n x^{n + 1})$. Вычислим $S - xS = (1 - x)S$:

$\begin{array}{cl}(1 - x)S&= [2x + 2(2x^2 + 3x^3 + \dots + n x^n)] -\\&- [2(x^2 + 2x^3 + 3x^4 + \dots + (n - 1) x^n) + 2n x^{n + 1}]=\end{array} \\=2x+2[(2-1)x^2+(3-2)x^3+\dots+(n-(n-1))x^n]-2nx^{n+1}=\\=2x+2x(x+x^2+x^3+\dots+x^{n-1})-2nx^{n+1}$

В скобках получилась сумма геометрической прогрессии. Используем известную формулу и получаем

$(1-x)S=2x+2x\cdot\dfrac{x^n-x}{x-1}-2nx^{n+1}=2x\left((1-nx^n)+\dfrac{x^n-x}{x-1}\right)\\ S=\dfrac{2x}{1-x}\left(1-nx^n+\dfrac{x^n-x}{x-1}\right) =\dfrac{2x(nx^{n+1}-(n+1)x^n+1)}{(x-1)^2}$

Эта формула годится для всех x ≠ 1. При x = 1 выражение не определено, сумма выглядит так:

$S=2(1+2+3+\dots +n)$

В этом случае по формуле для суммы арифметической прогрессии

$S=n(n+1)$

Answer 2

Если надо найти некую рекурентную функцию выражающую сумму , то

S = 2(x+2x^2+3x^3+4x^4+...+nx^n) = 2(2x+3x^2+4x^3+5x^4+...(n+1)x^n-(x+x^2+x^3+x^4+...+x^n))

Так как A(x)=x^2+x^3+x^4+...+x^(n+1)

то

A’(x)=2x+3x^2+4x^3+...+(n+1)x^n

По сумме геометрической прогрессии

A(x) = (x^2*(x^n-1)/(x-1))

A’(x) = (x^(n+1)*(nx-n+x-2)-x^2+2x)/(x-1)^2

И

B(x) = x+x^2+...+x^n = x*(x^n-1)/(x-1)

Вычитывая

S = 2(A’(x)-B(x)) =

2*((x^(n+1)*(nx-n+x-2)-x^2+2x)/(x-1)^2 - x*(x-1)*(x^n-1)/(x-1)^2) =

2x*(n*x^(n+1)-x^n*(n+1)+1)/(x-1)^2

Answer 3

To simplify the expression $2(x+2x^2+3x^3+4x^4+5x^5+...+nx^n)$, let's first consider the sum $x+2x^2+3x^3+4x^4+5x^5+...+nx^n$. This is an example of a sum of terms in the form $ax^n$, where $a$ is the coefficient and $n$ is the exponent of $x$.

We can notice a pattern here: the coefficient of $x^n$ is $n$ for each term. So, the sum can be rewritten as:

$x+2x^2+3x^3+4x^4+5x^5+...+nx^n = \sum_{k=1}^{n} kx^k$.

This sum is known as a series and has a well-known closed-form expression. The sum of the first $n$ terms of the series $kx^k$ is given by:

$\sum_{k=1}^{n} kx^k = \frac{x(1 - (n+1)x^n + nx^{n+1})}{(1-x)^2}$.

Now, we can simplify the original expression:

$2(x+2x^2+3x^3+4x^4+5x^5+...+nx^n) = 2\sum_{k=1}^{n} kx^k = \frac{2x(1 - (n+1)x^n + nx^{n+1})}{(1-x)^2}$.

So, the simplified expression is $\frac{2x(1 - (n+1)x^n + nx^{n+1})}{(1-x)^2}$.