Question

Решите уравнение tg(x-pi/4)=2ctgx+1

Answer 1

2ctg(x)+1=tg(x-п/4)

tg(x-п/4)-2ctg(x)=1

sin(x-п/4)/cos(x-п/4)-2•cos(x)/sin(x)=1

-----

sin(x-п/4)=

=sin(x)cos(п/4)-cos(x)sin(п/4)=

=sin(x)•√2/2-cos(x)•√2/2=

=√2/2(sin(x)-cos(x))

-----

Аналогично:

cos(x-п/4)=

=√2/2(sin(x)+cos(x))

-----

Возвращаемся к уравнению:

(sin(x)-cos(x))/(sin(x)+cos(x))-2•cos(x)/sin(x)=1

Приводим к общему знаменателю:

(sin²x-3sin(x)cos(x)-2cos²x)/(sin²x+sin(x)cos(x))=1

sin²x-(3/2)•sin(2x)-2cos²x=sin²x+sin(x)cos(x)

-3sin(2x)-4cos²x=2sin(x)cos(x)

-3sin(2x)-4cos²x-sin(2x)=0

-4sin(2x)-4cos²x=0

-8sin(x)cos(x)-4cos²x=0

-4cos(x)(2sin(x)+cos(x))=0

Отсюда

cos(x)=0 (1)

и 2sin(x)=cos(x) (2)

(1)

cos(x)=0

x=п/2+пk

(2)

и 2sin(x)=cos(x) |:cos(x)

2tg(x)=-1 <=> tg(x)=-1/2

x=-arctg(1/2)+пk

Ответ:

x=п/2+пk, k∈Z

x=-arctg(1/2)+пk, k∈Z

Answer 2

Для решения данного уравнения, начнем с приведения его к более простому виду.

Исходное уравнение: tg(x - π/4) = 2ctgx + 1

Для упрощения заменим ctg на 1/tg: tg(x - π/4) = 2 * (1/tgx) + 1

Теперь преобразуем левую часть уравнения: tg(x - π/4) = tgx * tg(π/4) - 1/tgx Так как tg(π/4) = 1, мы можем записать: tg(x - π/4) = tgx - 1/tgx

Теперь вернемся к исходному уравнению: tgx - 1/tgx = 2 * (1/tgx) + 1

Теперь умножим обе части уравнения на tgx для избавления от знаменателей: tgx * tgx - 1 = 2 + tgx

Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения: tgx * tgx - tgx - 3 = 0

Теперь решим квадратное уравнение. Проведем замену tgx = t: t * t - t - 3 = 0

Решим квадратное уравнение относительно t с помощью формулы дискриминанта: D = b^2 - 4ac D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-3) D = 1 + 12 D = 13

Так как дискриминант D больше нуля, у нас есть два действительных корня: t = ( -b + √D ) / 2a t = ( -(-1) + √13 ) / 2 * 1 t = (1 + √13) / 2

и

t = ( -b - √D ) / 2a t = ( -(-1) - √13 ) / 2 * 1 t = (1 - √13) / 2

Теперь найдем tgx, зная t: tgx = (1 + √13) / 2 и tgx = (1 - √13) / 2

Итак, у нас есть два значения для tgx:

1. tgx = (1 + √13) / 2
2. tgx = (1 - √13) / 2

Теперь, чтобы найти значения x, воспользуемся свойствами тангенса:

1. tgx = (1 + √13) / 2 x = arctg((1 + √13) / 2) + π/4

2. tgx = (1 - √13) / 2 x = arctg((1 - √13) / 2) + π/4

Таким образом, уравнение имеет два решения:

1. x = arctg((1 + √13) / 2) + π/4
2. x = arctg((1 - √13) / 2) + π/4