Question

Высота равнобедренного треугольника проведенная к основанию 18 см, а радиус вписанной окружности 8 см. Найти периметр треугольника.

Answer 1

Периметр треугольника равна 108см

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится применить свойство равнобедренных треугольников и формулу для радиуса вписанной окружности.

Свойство равнобедренных треугольников: в равнобедренном треугольнике биссектриса угла, проведенная из вершины к основанию, делит основание пополам.

Обозначим перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к основанию, как высоту треугольника (h). Так как треугольник равнобедренный, то этот перпендикуляр делит основание на две равные части. Таким образом, длина одной из половин основания составит 9 см (половина 18 см).

Теперь воспользуемся формулой для радиуса вписанной окружности (r) в равнобедренном треугольнике:

$r = \frac{a}{2 \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

где $a$ - длина основания (в нашем случае, $a = 18$ см), $\alpha$ - угол при вершине треугольника (угол между равными сторонами).

Так как радиус вписанной окружности равен 8 см, то $r = 8$ см.

Далее, у нас есть еще одно соотношение между радиусом вписанной окружности (r), полупериметром треугольника (s) и площадью треугольника (S):

$S = r \cdot s$

Так как площадь треугольника можно вычислить, используя информацию о высоте треугольника (h) и половине основания (a/2):

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$

Теперь у нас есть два уравнения:

$8 = \frac{18}{2 \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot h$

Мы можем решить первое уравнение для $\alpha$ и затем, зная $\alpha$, решить второе уравнение для $h$.

Решение первого уравнения:

$8 = \frac{18}{2 \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

$\frac{18}{2 \cdot 8} = \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{18}{2 \cdot 8}$

$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{9}{8}$

Теперь найдем $\alpha$:

$\frac{\alpha}{2} = \arctan\left(\frac{9}{8}\right)$

$\alpha = 2 \cdot \arctan\left(\frac{9}{8}\right)$

$\alpha \approx 76.56^\circ$

Теперь решим второе уравнение для $h$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot h$

$h = \frac{2 \cdot S}{18}$

$h = \frac{S}{9}$

Осталось найти площадь треугольника, чтобы вычислить высоту $h$.

Мы знаем, что площадь $S = r \cdot s$, где $r = 8$ (радиус вписанной окружности) и $s$ - полупериметр треугольника.

Полупериметр $s$ равен сумме всех сторон треугольника, деленной на 2:

$s = \frac{a + b + c}{2}$

Так как треугольник равнобедренный, $a = b$, и мы можем записать:

$s = \frac{2a + c}{2} = a + \frac{c}{2}$

Теперь, подставим все известные значения:

$8 = \frac{18}{2 \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{9}{8}$

$\alpha \approx 76.56^\circ$

$h = \frac{S}{9}$

$s = a + \frac{c}{2}$