Question

Интеграл (x+1)sin(x^2+2x)

Answer 1

$\displaystyle \int \left(x+1\right)\sin \left(x^2+2x\right)dx\\ \\ u=x^2+2x\\ \\ \int \frac{\sin \left(u\right)}{2}du=\frac{1}{2}\cdot \int \:\sin \left(u\right)du=\frac{1}{2}\left(-\cos \left(u\right)\right)=\frac{1}{2}\left(-\cos \left(x^2+2x\right)\right)=\\ \\ =-\frac{1}{2}\cos \left(x^2+2x\right)=-\frac{1}{2}\cos \left(x^2+2x\right)+C$

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, воспользуемся методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

∫u dv = uv - ∫v du,

где u и v - это две функции, которые мы выбираем для разложения исходного интеграла.

В данном случае, выберем u = (x + 1) и dv = sin(x^2 + 2x) dx.

Теперь вычислим du и v:

du = d(x + 1) = dx, v = ∫sin(x^2 + 2x) dx.

Интеграл v не имеет простого аналитического выражения, поэтому будем считать его без изменений.

Теперь применим формулу интегрирования по частям:

∫(x + 1)sin(x^2 + 2x) dx = (x + 1) ∫sin(x^2 + 2x) dx - ∫∫(∫sin(x^2 + 2x) dx) dx.

Обратите внимание, что последний интеграл ∫∫sin(x^2 + 2x) dx уже является сложным и его необходимо будет решить с помощью других методов, например, методом замены переменной или методом интегрирования по частям снова.

Если вы хотите продолжить вычисления или уточнить задачу, пожалуйста, сообщите.