Question

Определить, при каких x три числа а₁, а₂, а₃, взятые в указанном порядке, образуют арифметическую прогрессию: а₁=lg2; а₂=lg(2ˣ-6); а₃=lg(2ˣ-34). Ответ:x=2

Answer 1

Воспользовавшись свойством среднего арифметического 2а₂=а₃+а₁; 2lg(2ˣ-6)=lg(2ˣ-34)+lg2;
lg(2ˣ-6)^2=lg2(2ˣ-34); (2ˣ-6)^2=2(2ˣ-34); (2ˣ)^2-12*2ˣ+36=
=2*2ˣ-68; (2ˣ)^2-12*2ˣ+36-2*2ˣ+68=0;
(2ˣ)^2-14*2ˣ+104=0; D<0.
Ответ: таких значений х не существует.

Answer 2

Для того чтобы три числа a₁, a₂, a₃ образовывали арифметическую прогрессию, разность между любыми двумя последовательными членами должна быть одинаковой.

Таким образом, для чисел a₁, a₂, a₃ в указанном порядке, должно выполняться следующее условие:

a₂ - a₁ = a₃ - a₂

Перепишем выражения a₁, a₂ и a₃:

a₁ = lg2 a₂ = lg(2ˣ - 6) a₃ = lg(2ˣ - 34)

Теперь найдем разности между последовательными членами:

a₂ - a₁ = lg(2ˣ - 6) - lg2 = lg((2ˣ - 6) / 2) = lg(2ˣ / 2 - 3) = lg(2ˣ - 3)

a₃ - a₂ = lg(2ˣ - 34) - lg(2ˣ - 6) = lg((2ˣ - 34) / (2ˣ - 6))

Теперь приравниваем эти разности и решим уравнение:

lg(2ˣ - 3) = lg((2ˣ - 34) / (2ˣ - 6))

Чтобы избавиться от логарифмов, возведем обе части уравнения в степень 10:

10^(lg(2ˣ - 3)) = 10^(lg((2ˣ - 34) / (2ˣ - 6)))

2ˣ - 3 = (2ˣ - 34) / (2ˣ - 6)

Теперь избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на (2ˣ - 6):

(2ˣ - 6)(2ˣ - 3) = 2ˣ - 34

Раскроем скобки:

4ˣ - 12ˣ - 2ˣ + 18 = 2ˣ - 34

Теперь соберем все члены с x слева, а числовые члены справа:

4ˣ - 12ˣ - 2ˣ - 2ˣ = -34 - 18

-12ˣ = -52

Теперь разделим обе части уравнения на -12:

ˣ = -52 / -12 ˣ = 4.333...

Таким образом, значение x, при котором числа a₁, a₂, a₃ образуют арифметическую прогрессию, приближенно равно 4.333... Однако, данное значение x не равно 2, как указано в ответе. Возможно, в вопросе была допущена ошибка. Если значение x равно 2, пожалуйста, перепроверьте условие задачи или уточните вопрос.