Question

Найдите трехзначное число, если цифры единиц, десятков и сотен в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию, а цифры числа, меньшего данного на 10, в том же порядке образуют геометрическую прогрессию.

Answer 1

852-арифметическая с шагом в +3
842-геометрическая с шагом в *2

Answer 2

Давайте обозначим трехзначное число как ABC, где A - сотни, B - десятки, C - единицы. Таким образом, ABC = 100A + 10B + C.

Из условия задачи мы знаем, что цифры образуют арифметическую прогрессию. Это означает, что:

\[ B - A = C - B \]

Теперь давайте рассмотрим число, которое меньше на 10:

\[ (A-1)(B-1)(C-1) \]

Также, мы знаем, что цифры этого числа образуют геометрическую прогрессию. Это означает, что:

\[ \frac{(B-1)}{(A-1)} = \frac{(C-1)}{(B-1)} \]

Мы знаем, что \( B - A = C - B \), поэтому можем заменить \( C - B \) на \( B - A \) в уравнении для геометрической прогрессии:

\[ \frac{(B-1)}{(A-1)} = \frac{(B-1)}{(B-A)} \]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. Арифметическая прогрессия: \( B - A = C - B \) 2. Геометрическая прогрессия: \( \frac{(B-1)}{(A-1)} = \frac{(B-1)}{(B-A)} \)

Решим систему уравнений. Напоминаю, что ищем трехзначное число, поэтому A, B и C — цифры от 1 до 9.

Мы также знаем, что \( B > A \) и \( C > B \), так как это трехзначное число.

Итак, начнем с перебора значений A, B и C. Попробуем различные комбинации и проверим уравнения:

1. \( A = 1, B = 2, C = 3 \) Арифметическая прогрессия: \( 2 - 1 = 3 - 2 \) (верно) Геометрическая прогрессия: \( \frac{(2-1)}{(1-1)} = \frac{(2-1)}{(2-1)} \) (верно) Но число меньше на 10: \( ABC - 10 = 123 - 10 = 113 \)

2. \( A = 2, B = 3, C = 4 \) Арифметическая прогрессия: \( 3 - 2 = 4 - 3 \) (верно) Геометрическая прогрессия: \( \frac{(3-1)}{(2-1)} = \frac{(4-1)}{(3-2)} \) (не верно)

3. \( A = 3, B = 4, C = 5 \) Арифметическая прогрессия: \( 4 - 3 = 5 - 4 \) (верно) Геометрическая прогрессия: \( \frac{(4-1)}{(3-1)} = \frac{(5-1)}{(4-3)} \) (верно) И число меньше на 10: \( ABC - 10 = 345 - 10 = 335 \)

Таким образом, требуемое трехзначное число - 335.