Question

4sin^4x+sin^2 2x=1 Решить применяя формулы понижения стнепени

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для решения уравнения 4sin^4x + sin^2 2x = 1 с использованием формул понижения степени, нужно представить sin^2 2x в виде выражения синуса от x. Для этого воспользуемся формулой понижения степени для синуса:

sin^2 θ = (1 - cos 2θ) / 2.

Таким образом, для sin^2 2x мы получаем:

sin^2 2x = (1 - cos 4x) / 2.

Теперь уравнение принимает вид:

4sin^4x + (1 - cos 4x) / 2 = 1.

Для удобства дальнейших вычислений умножим уравнение на 2:

8sin^4x + 1 - cos 4x = 2.

Теперь заметим, что 1 - cos 4x можно выразить через cos^2 2x:

cos 2θ = 1 - 2sin^2 θ,

тогда для 4x:

cos 4x = 1 - 2sin^2 2x.

Теперь подставим это обратно в уравнение:

8sin^4x + (1 - (1 - 2sin^2 2x)) = 2,

8sin^4x + 2sin^2 2x = 2.

Теперь заметим, что 2sin^2 2x = sin^2 2x + sin^2 2x = sin^2 2x + (1 - cos 4x). Теперь подставим это обратно в уравнение:

8sin^4x + sin^2 2x + (1 - cos 4x) = 2.

Поскольку у нас есть sin^2 2x + (1 - cos 4x) = 1 (из исходного уравнения), получаем:

8sin^4x + 1 = 2.

Теперь перенесем все в левую часть:

8sin^4x = 1.

И, наконец, выразим sin^4x:

sin^4x = 1 / 8.

Теперь найдем sin x:

sin^2x = ±√(1 / 8) = ±√(1 / (2^3)) = ±(1 / 2√2) = ±(√2 / 4).

Таким образом, sin x = ±(√2 / 2).

Окончательно, получаем четыре решения для x:

1. sin x = √2 / 2,
2. sin x = -√2 / 2,
3. sin x = √2 / 2,
4. sin x = -√2 / 2.