Question

Найти область значений функции y=(x^2 +9)/2x Заранее спасибо

Answer 1

Y=(x²+9)/2x
2xy=x²+9
x²-2yx+9=0
D/4=y²-9 ≥ 0
(y-3)(y+3) ≥ 0
y∈(-∞;-3]∪[3;∞)

Answer 2

Для нахождения области значений функции y = (x^2 + 9) / (2x), нужно определить, какие значения y могут быть получены при различных значениях x.

Сначала рассмотрим знаменатель функции, то есть 2x. Заметим, что этот знаменатель не равен нулю, так как при x = 0 он обращается в 0. Таким образом, x не может быть равен 0, исключаем эту точку из области значений.

Теперь рассмотрим числитель функции, то есть x^2 + 9. Это выражение представляет собой квадрат положительного числа (x^2) и константы 9. Квадрат положительного числа всегда неотрицателен и не может быть равен нулю, если x ≠ 0. Константа 9 также неотрицательна. Следовательно, x^2 + 9 всегда положительно, когда x ≠ 0.

Теперь мы знаем, что как числитель, так и знаменатель функции всегда положительны, когда x ≠ 0. Значит, знак функции y = (x^2 + 9) / (2x) зависит от соотношения между числителем и знаменателем. Если числитель больше знаменателя, то y будет положительным, и наоборот.

Рассмотрим два случая:

1. Когда x > 0: В этом случае и числитель (x^2 + 9) и знаменатель (2x) положительны. Значит, функция y = (x^2 + 9) / (2x) будет положительна.

2. Когда x < 0: В этом случае, хотя x отрицателен, числитель (x^2 + 9) всегда положителен (так как x^2 всегда неотрицательно, а 9 - положительно). Знаменатель (2x) также отрицателен. Таким образом, отрицательное число поделенное на отрицательное будет положительным. Следовательно, функция y = (x^2 + 9) / (2x) также будет положительна.

Таким образом, область значений функции y = (x^2 + 9) / (2x) - это множество всех положительных чисел, исключая ноль. Математически это можно записать так:

Область значений y: y ∈ (0, +∞), где +∞ обозначает "плюс бесконечность".