Question

Исследуйте функцию на чётность/нечётность 1) y(x)=2tgx-ctgx/sin^2x 2) y(x)=5cos^2x-x*tgx 3) y(x)=2sinx-x*cosx+5tgx 4) y(x)=2x*tgx/ctg^2x 15) y(x)=tg^2x-sin^2x/cosx

Answer 1

Если y(-x) = y(x), функция четная. Если y(-x) = -y(x) => нечетная.

1) y(-x) = 2tg(-x) - ctg(-x)/sin²(-x) = -2tgx - (-ctgx/sin²x) = -2tgx + ctgx/sin²x = -(2tgx - ctgx/sin²x) = -y(x) => нечетная.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

2) y(-x) = 5cos²(-x) - (-x)*tg(-x) = 5cos²x + x*(-tgx) = 5cos²x - x*tgx = y(x) => четная.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

3) y(-x) = 2sin(-x) - (-x)*cos(-x) + 5tg(-x) = -2sinx + xcosx - 5tgx = -(2sinx - x*cosx + 5tgx) = -y(x) => нечетная.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

4) y(x) = 2*(-x)*tg(-x) / ctg²(-x) = -2x*(-tgx)/ctg²x = 2x*tgx/ctg²x = y(x) => четная

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

15) y(-x) = tg²(-x) - sin²(-x)/cos(-x) = tg²x - sin²x/cosx = y(x) => четная.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Answer 2

Для исследования функций на чётность/нечётность, нужно проанализировать их свойства относительно замены переменной x на -x. Вспомним определения:

1. Функция y(x) называется чётной, если для любого x из области определения функции выполняется условие: y(x) = y(-x).

2. Функция y(x) называется нечётной, если для любого x из области определения функции выполняется условие: y(x) = -y(-x).

Теперь рассмотрим каждую из данных функций:

1. y(x) = 2tg(x) - ctg(x) / sin^2(x)

Заменим x на -x: y(-x) = 2tg(-x) - ctg(-x) / sin^2(-x)

Так как тангенс и котангенс являются нечётными функциями, то tg(-x) = -tg(x) и ctg(-x) = -ctg(x).

Получаем: y(-x) = -2tg(x) + ctg(x) / sin^2(x)

Заметим, что y(-x) = -y(x), следовательно, функция является нечётной.

2. y(x) = 5cos^2(x) - x * tg(x)

Заменим x на -x: y(-x) = 5cos^2(-x) - (-x) * tg(-x)

Так как косинус является чётной функцией, то cos(-x) = cos(x).

Также тангенс является нечётной функцией, то tg(-x) = -tg(x).

Получаем: y(-x) = 5cos^2(x) + x * tg(x)

Заметим, что y(-x) = y(x), следовательно, функция является чётной.

3. y(x) = 2sin(x) - x * cos(x) + 5tg(x)

Заменим x на -x: y(-x) = 2sin(-x) - (-x) * cos(-x) + 5tg(-x)

Так как синус является нечётной функцией, то sin(-x) = -sin(x), и косинус является чётной функцией, то cos(-x) = cos(x).

Также тангенс является нечётной функцией, то tg(-x) = -tg(x).

Получаем: y(-x) = -2sin(x) + x * cos(x) + 5tg(x)

Заметим, что y(-x) = -y(x), следовательно, функция является нечётной.

4. y(x) = 2x * tg(x) / ctg^2(x)

Заменим x на -x: y(-x) = 2(-x) * tg(-x) / ctg^2(-x)

Так как тангенс и котангенс являются нечётными функциями, то tg(-x) = -tg(x) и ctg(-x) = -ctg(x).

Получаем: y(-x) = -2x * tg(x) / ctg^2(x)

Заметим, что y(-x) = -y(x), следовательно, функция является нечётной.

15. y(x) = tg^2(x) - sin^2(x) / cos(x)

Заменим x на -x: y(-x) = tg^2(-x) - sin^2(-x) / cos(-x)

Так как тангенс является нечётной функцией, то tg(-x) = -tg(x).

Также синус и косинус являются нечётными и чётными функциями соответственно, то sin(-x) = -sin(x) и cos(-x) = cos(x).

Получаем: y(-x) = tg^2(x) - sin^2(x) / cos(x)

Заметим, что y(-x) = y(x), следовательно, функция является чётной.

Итак, исследование функций на чётность/нечётность выглядит следующим образом:

1. Функция y(x)=2tg(x)-ctg(x)/sin^2(x) - нечётная
2. Функция y(x)=5cos^2(x)-x*tg(x) - чётная
3. Функция y(x)=2sin(x)-x*cos(x)+5tg(x) - нечётная
4. Функция y(x)=2x*tg(x)/ctg^2(x) - нечётная
5. Функция y(x)=tg^2(x)-sin^2(x)/cos(x) - чётная

При исследовании на чётность/нечётность важно обращать внимание на свойства тригонометрических функций и свойства чётности/нечётности самой функции.