Question

Помогите решить уравнение √x + √(x - 2) = 1 - x

Answer 1

Уравнение не имеет корней. Это следует из следующих замечаний:

1) Подкоренное выражение должно быть больше нуля. Отсюда получаем: x ⩾ 0 и x ⩾ 2. Второе условие более сильное, поэтому его и оставляем. x ⩾ 2. (*)

2) Сумма двух радикалов есть число неотрицательное. То есть:

1 - x ⩾ 0;

x ⩽ 1. (**)

Интервалы (*) и (**) не пересекаются. Отсюда можно сделать вывод, что уравнение корней не имеет.

Ответ: нет корней.

Answer 2

Давайте решим уравнение шаг за шагом:

1. Начнем с переноса всех терминов на одну сторону уравнения, чтобы получить уравнение в форме "равно нулю":

   √x + √(x - 2) + x - 1 = 0

2. Теперь объединим два квадратных корня в один, чтобы избавиться от них в знаменателе. Для этого умножим обе части уравнения на конъюгат (сопряженное число) для выражения √(x - 2):

   (√x + √(x - 2) + x - 1) * (√x - √(x - 2)) = 0

   При умножении сопряженных выражений (a + b) * (a - b) получим a^2 - b^2:

   (√x)^2 - (√(x - 2))^2 + x√x - √x√(x - 2) - x√(x - 2) + √(x - 2)^2 = 0

   x - (x - 2) + x√x - √x√(x - 2) - x√(x - 2) + (x - 2) = 0

   Теперь у нас есть уравнение без квадратных корней в знаменателе:

   x + x√x - √x√(x - 2) - x√(x - 2) - 2 = 0

3. Объединим одинаковые термины:

   x + x√x - 2√x√(x - 2) - x√(x - 2) - 2 = 0

4. Вынесем общий множитель:

   x(1 + √x) - 2√x√(x - 2) - 2 = 0

5. Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно √x. Для решения заменим √x на некоторую переменную, скажем, t:

   t^2 + t - 2 = 0

6. Решим квадратное уравнение:

   (t + 2)(t - 1) = 0

   t = -2 или t = 1

7. Вернемся к переменной √x:

   √x = -2 или √x = 1

8. Уравнение имеет решения только если подкоренное выражение неотрицательно:

   √x = 1

9. Теперь найдем значение x:

   x = (√x)^2 = 1^2 = 1

10. Проверим полученное значение, подставив его в исходное уравнение:

√1 + √(1 - 2) = 1 - 1

1 - 1 = 0 (верно)

Таким образом, уравнение имеет только одно решение: x = 1.