Question

Докажите,что функция у=x^2+2\x^2+3 ограниченная

Answer 1

Заметим, что все слагаемые точно положительны, т. к. x² > 0 (квадрат числа всегда неотрицателен), 2/x² > 0 (2 > 0, x² > 0), 3 > 0, поэтому и множество значений однозначно положительно, а значит, функция ограниченная.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что функция $f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x^2 + 3}$ ограничена, нам нужно показать, что существуют такие константы $M$ и $N$, что для любого значения $x$ в домене функции $f(x)$ выполняется неравенство $M \leq f(x) \leq N$.

Давайте рассмотрим поведение функции $f(x)$ при стремлении $x$ к положительной и отрицательной бесконечности.

1. При $x \to +\infty$: $f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x^2 + 3} \to \frac{\infty}{\infty}.$

Используем правило Лопиталя для нахождения предела: $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 2}{2x} = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right) = 1.$

Таким образом, функция имеет предел 1 при $x \to +\infty$.

2. При $x \to -\infty$: $f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x^2 + 3} \to \frac{\infty}{\infty}.$

Используем правило Лопиталя для нахождения предела: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x + 2}{2x} = \lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right) = 1.$

Таким образом, функция имеет предел 1 при $x \to -\infty$.

Теперь обратим внимание на область определения функции $f(x)$. В данном случае, функция определена на всей числовой прямой, за исключением точки $x = 0$, так как в знаменателе не может быть нуля.

Мы видим, что на интервале $(- \infty, 0)$ и $(0, + \infty)$ функция непрерывна и ее значение ограничено на каждом из этих интервалов. Также функция имеет предел 1 при $x \to \pm \infty$.

Теперь нужно рассмотреть поведение функции в окрестности точки $x = 0$. Мы можем вычислить предел функции при $x \to 0$:

$\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{0^2 + 2 \cdot 0}{0^2 + 3} = 0.$

Таким образом, функция имеет предел 0 при $x \to 0$.

Итак, функция $f(x)$ ограничена на интервалах $(- \infty, 0)$ и $(0, + \infty)$ и имеет предел 0 при $x \to 0$, а также предел 1 при $x \to \pm \infty$. Таким образом, функция $f(x)$ ограничена на всей числовой прямой за исключением, возможно, конечного числа точек. Окончательно, мы можем сделать вывод, что функция $f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x^2 + 3}$ ограничена на своей области определения.