Question

Доказать. что на 8 делится куб четного числа. Даю 30б, очень подробный ответ, что бы я поняла как решать

Answer 1

Нужно показать, что число $(2n)^3$ делится на 8. По свойству степеней $(2n)^3=2^3\cdot n^3=8n^3$, видим, что первый множитель делится на 8, значит и куб четного числа тоже делится на 8. Что и нужно было доказать.

Answer 2

Доказательство того, что куб четного числа делится на 8, можно провести с использованием метода математической индукции. Для этого нам понадобятся следующие шаги:

1. Убедиться в истинности утверждения для базового случая.
2. Сделать предположение (предположение индукции) о том, что утверждение верно для некоторого k.
3. Доказать, что если утверждение верно для k, то оно верно и для k+1.

Давайте рассмотрим каждый из этих шагов.

1. Базовый случай: Покажем, что утверждение верно для минимального четного числа, а именно 2. 2^3 = 2 * 2 * 2 = 8. Как видно, 8 делится на 8 без остатка.

2. Предположение (предположение индукции): Предположим, что утверждение верно для некоторого четного числа k, т.е. k^3 делится на 8 без остатка.

3. Доказательство для (k+1): Теперь докажем, что если утверждение верно для k, то оно также верно и для k+1. Рассмотрим (k+1)^3: (k+1)^3 = (k+1) * (k+1) * (k+1) = (k^2 + 2k + 1) * (k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1.

Теперь по предположению индукции мы знаем, что k^3 делится на 8. Также заметим, что 3k^2 и 3k также делятся на 8, так как они содержат множитель 3 и множитель k^2 (который делится на 8 по предположению индукции). Наконец, остаток от деления на 8 для 1 равен 1.

Итак, сумма k^3 + 3k^2 + 3k + 1 делится на 8 без остатка.

Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для k, то оно верно и для k+1. Мы уже убедились, что оно верно для базового случая (k=2).

Следовательно, по принципу математической индукции, утверждение верно для всех четных чисел k.

Таким образом, куб четного числа делится на 8 без остатка.