Question

Помогите решить lg (tg30°*tg32°*tg34°*...*tg58°*tg60°)

Answer 1

$lg(tg(30)*tg(32)*...*tg(58)*tg(60))$

$tg(\alpha)*tg(\beta) = \frac{cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta)}{cos(\alpha - \beta) + cos(\alpha + \beta)}$

$tg(60) * tg(30) = \frac{cos(30) - cos(90)}{cos(30) + cos(90)} = \frac{cos(30)}{cos(30)} = 1 \\tg(58) * tg(32) = \frac{cos(26) - cos(90)}{cos(26) + cos(90)} = \frac{cos(26)}{cos(26)} = 1 \\... \\tg(46)*tg(44) = \frac{cos(2) - cos(90)}{cos(2) + cos(90)} = \frac{cos(2)}{cos(2)} = 1$

$lg(tg(30)*tg(32)*...*tg(58)*tg(60)) = lg(1) = 0$

Answer 2

Для решения данного выражения, мы можем воспользоваться тригонометрическим тождеством, которое утверждает, что:

tg(90° - θ) = 1 / tg(θ)

Также, стоит упомянуть, что tg(θ) = cot(θ) (котангенс).

Теперь, давайте преобразуем выражение:

lg(tg30° * tg32° * tg34° * ... * tg58° * tg60°)

Мы знаем, что tg(90° - θ) = 1 / tg(θ), поэтому можем записать:

tg30° = cot(60°) tg32° = cot(58°) tg34° = cot(56°) ... tg58° = cot(32°) tg60° = cot(30°)

Теперь выражение принимает вид:

lg(cot(60°) * cot(58°) * cot(56°) * ... * cot(32°) * cot(30°))

Так как lg(a * b) = lg(a) + lg(b), мы можем разделить выражение на отдельные члены:

lg(cot(60°)) + lg(cot(58°)) + lg(cot(56°)) + ... + lg(cot(32°)) + lg(cot(30°))

Теперь посчитаем значения котангенсов:

cot(30°) = 1 / tg(30°) = 1 / √3 cot(32°) = 1 / tg(32°) cot(34°) = 1 / tg(34°) ... cot(58°) = 1 / tg(58°) cot(60°) = 1 / tg(60°) = √3

Мы можем использовать тригонометрическое тождество ещё раз:

tg(90° - θ) = 1 / tg(θ), чтобы преобразовать tg(θ) в cot(θ):

cot(32°) = cot(90° - 32°) = cot(58°) cot(34°) = cot(90° - 34°) = cot(56°) ... cot(56°) = cot(90° - 56°) = cot(34°) cot(58°) = cot(90° - 58°) = cot(32°)

Теперь выражение становится:

lg(√3) + lg(cot(58°)) + lg(cot(56°)) + ... + lg(cot(34°)) + lg(cot(32°))

Таким образом, все члены от cot(32°) до cot(58°) у нас дублируются, но в обратном порядке, и могут быть упрощены.

Итак, решение выражения:

lg(√3) + lg(cot(58°)) + lg(cot(56°)) + ... + lg(cot(34°)) + lg(cot(32°))

lg(√3) + lg(cot(58°)) + lg(cot(56°)) + ... + lg(cot(34°)) + lg(cot(32°))

= lg(√3) + (lg(cot(58°)) + lg(cot(58°))) + (lg(cot(56°)) + lg(cot(56°))) + ... + (lg(cot(34°)) + lg(cot(34°))) + lg(cot(32°))

= lg(√3) + 2 * (lg(cot(58°)) + lg(cot(56°)) + ... + lg(cot(34°))) + lg(cot(32°))

Теперь у нас есть последовательность из n элементов, каждый из которых равен lg(cot(θ)), где θ меняется от 32° до 58° с шагом 2°:

n = (58° - 32°) / 2 + 1 = 14

Таким образом, n = 14. Мы можем записать выражение как:

lg(√3) + 2 * (lg(cot(58°)) + lg(cot(56°)) + ... + lg(cot(34°))) + lg(cot(32°))

= lg(√3) + 2 * (n * lg(cot(58°))) + lg(cot(32°))

Теперь вычислим lg(cot(58°)):

cot(58°) = 1 / tg(58°)

Так как tg(θ) = sin(θ) / cos(θ), мы можем использовать тригонометрическое тождество sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1:

tg(58°) = sin(58°) / cos(58°) sin^2(58°) + cos^2(58°) = 1

Теперь нам нужно вычислить sin(58°) и cos(58°). Обратите внимание, что sin(58°) = sin(90° - 58°) = cos(58°):

sin^2(58°) + cos^2(58°) = cos^2(58°) + cos^2(58°) = 2 * cos^2(58°) = 1

cos^2(58°) = 1 / 2

cos(58°) = √(1 / 2) = √(2) / 2

sin(58°) = cos(58°) = √(2) / 2

Теперь можем найти tg(58°):

tg(58°) = sin(58°) / cos(58°) = (√2 / 2) / (√2 / 2) = 1

Теперь можем вычислить lg(cot(58°)):

lg(cot(58°)) = lg(1 / tg(58°)) = lg(1) = 0

Теперь вернемся к нашему выражению:

lg(√3) + 2 * (n * lg(cot(58°))) + lg(cot(32°))

= lg(√3) + 2 * (n * 0) + lg(cot(32°))

= lg(√3) + lg(cot(32°))

Осталось вы