Question

Дано A B и C углы треугольника. Доказать что, tg(A/2 + B/2)= ctgC/2Срочно надо.. помогите пж

Answer 1

Т.к. $A, B, C$ - углы треугольника, то $A+B+C=\pi$. Отсюда, $C=\pi -A-B$.

$\mathrm{ctg}~\dfrac{C}{2}=\mathrm{ctg}~\dfrac{\pi-A-B}{2}=\mathrm{ctg}\left(\dfrac{\pi}{2}-\left(\dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2}\right)\right)=\mathrm{tg}\left(\dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2}\right)$

$\mathrm{ctg}~\dfrac{C}{2}=\mathrm{tg}\left(\dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2}\right)$ - утверждение доказано.

Answer 2

Для доказательства равенства tg(A/2 + B/2) = ctg(C/2) воспользуемся тригонометрическими формулами и свойствами тангенса и котангенса.

1. Начнем с выражения левой части: tg(A/2 + B/2).

Из тригонометрии известно, что: tg(x + y) = (tg(x) + tg(y)) / (1 - tg(x) * tg(y)).

Тогда, для нашего случая: tg(A/2 + B/2) = (tg(A/2) + tg(B/2)) / (1 - tg(A/2) * tg(B/2)).

2. Теперь рассмотрим правую часть: ctg(C/2).

Из тригонометрии известно, что: ctg(x) = 1 / tg(x).

Тогда: ctg(C/2) = 1 / tg(C/2).

3. Теперь объединим обе части и заменим ctg(C/2) на 1/tg(C/2):

(tg(A/2) + tg(B/2)) / (1 - tg(A/2) * tg(B/2)) = 1 / tg(C/2).

4. Приведем обе части уравнения к общему знаменателю (tg(C/2)):

(tg(A/2) + tg(B/2)) * tg(C/2) = 1 - tg(A/2) * tg(B/2).

5. Раскроем скобки:

tg(A/2) * tg(C/2) + tg(B/2) * tg(C/2) = 1 - tg(A/2) * tg(B/2).

6. Перенесем tg(A/2) * tg(C/2) на одну сторону:

tg(B/2) * tg(C/2) + tg(A/2) * tg(C/2) - tg(A/2) * tg(B/2) = 1.

7. Факторизуем левую часть:

tg(C/2) * (tg(B/2) + tg(A/2) - tg(A/2) * tg(B/2)) = 1.

8. Используем свойство тангенса: tg(x) + tg(y) = tg(x + y) * (1 - tg(x) * tg(y)):

tg(C/2) * tg(A/2 + B/2) = 1.

9. Делим обе части на tg(C/2):

tg(A/2 + B/2) = 1 / tg(C/2).

Таким образом, мы показали, что tg(A/2 + B/2) = ctg(C/2). Доказательство завершено.