Question

Развязать неравенства: 0,5^(x-2/x+1) > 1 (4x-6)/(log_0.5 x) < 0

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Для разрешения неравенства первого вида, 0,5^(x-2/x+1) > 1, нужно следующее:

1. Начнем с того, что перенесем 1 налево, чтобы получить все выражение справа от неравенства: 0,5^(x-2/x+1) - 1 > 0

2. Заметим, что 0,5^y можно переписать как (1/2)^y, и также заметим, что у нас есть деление с общим знаменателем x + 1: (1/2)^(x-2/x+1) - 1 > 0

3. Теперь найдем общий знаменатель и перепишем: [(1/2)^(x^2 + x - 2) - 1] / (x + 1) > 0

4. Рассмотрим числитель: (1/2)^(x^2 + x - 2) - 1 = 0

   Для нахождения точек, в которых числитель равен 0, решим уравнение: (1/2)^(x^2 + x - 2) = 1

5. Поскольку 0,5 возводить в любую степень никогда не даст 1 (0,5 в любой степени всегда будет меньше 1), то уравнение не имеет решений. Значит, у нашего неравенства нет равных нулю точек.

6. Исследуем знак выражения внутри скобок числителя, чтобы определить знак неравенства. Найдем корни уравнения (x + 1)(x - 2) = 0: x + 1 = 0 => x = -1 x - 2 = 0 => x = 2

7. Теперь построим таблицу знаков на интервалах: (-∞, -1), (-1, 2), (2, +∞).

8. Проверим значения внутри каждого интервала: a) Для x < -1: (1/2)^(x^2 + x - 2) < 1 (всегда положительное значение) (x + 1) < 0 (отрицательное значение)

   b) Для -1 < x < 2: (1/2)^(x^2 + x - 2) > 1 (всегда положительное значение) (x + 1) > 0 (положительное значение)

   c) Для x > 2: (1/2)^(x^2 + x - 2) > 1 (всегда положительное значение) (x + 1) > 0 (положительное значение)

9. Итак, на интервалах: a) x < -1: (1/2)^(x^2 + x - 2) - 1 > 0 b) -1 < x < 2: (1/2)^(x^2 + x - 2) - 1 > 0 c) x > 2: (1/2)^(x^2 + x - 2) - 1 > 0

Теперь рассмотрим неравенство второго вида, (4x - 6) / (log_0.5 x) < 0.

1. Перенесем выражение налево: (4x - 6) / (log_0.5 x) + 0 < 0

2. Поскольку логарифм с основанием 0,5 возводит в степень, равную его аргументу, чтобы избавиться от логарифма, возведем обе части в степень 2^(log_0.5 x): 2^(log_0.5 x) * (4x - 6) / (log_0.5 x) < 0

3. Теперь упростим: 2^(log_0.5 x) * (4x - 6) / (log_0.5 x) = 2^(log_0.5 x) * (4x - 6) / (log_0.5 x) = 2^(log_0.5 x) * 2^2 = 2^(log_0.5 x + 2)

4. Так как 2^(log_0.5 x + 2) всегда положительно, у нашего неравенства нет решений.

Таким образом, система неравенств не имеет решений.