Question

Lim x стремится к нулю (tgx/sin3x)

Answer 1

Используем замену функции эквивалентными. При x->0 tg(x) ~ x, sin(3x) ~ 3x. Тогда для x->0 справедливо:

$\lim_{}\frac{tgx}{sin3x} =\lim_{}\frac{x}{3x} =\lim_{}\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: 1/3.

Answer 2

Для того чтобы вычислить предел функции $\lim_{{x \to 0}} \frac{{\tan{x}}}{{\sin{3x}}}$, можно воспользоваться правилом Лопиталя (L'Hôpital's rule). Это правило позволяет находить предел некоторых неопределенностей типа 0/0 или ∞/∞.

Перед применением правила Лопиталя давайте сначала вычислим предел функции без использования него:

$\lim_{{x \to 0}} \frac{{\tan{x}}}{{\sin{3x}}}$

Когда $x$ стремится к 0, $\tan{x}$ также стремится к 0, а $\sin{3x}$ стремится к 0, поскольку $\sin{3x} = 3x$ при $x \to 0$.

Таким образом, у нас имеется неопределенность вида 0/0. Теперь применим правило Лопиталя:

1. Найдем производную числителя и знаменателя по переменной $x$: $\frac{d}{dx}(\tan{x}) = \sec^2{x}$ $\frac{d}{dx}(\sin{3x}) = 3\cos{3x}$

2. Теперь найдем предел отношения производных при $x \to 0$: $\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sec^2{x}}}{{3\cos{3x}}}$

3. Подставим $x = 0$ в полученное выражение: $\frac{{\sec^2{0}}}{{3\cos{0}}} = \frac{1}{{3}}$

Итак, предел исходной функции $\lim_{{x \to 0}} \frac{{\tan{x}}}{{\sin{3x}}}$ равен $\frac{1}{3}$.