Question

Lim (стремится к нулю) sin4x/2x lim (стремится к 3) (x^2-5x+6)/(x^3-27) Lim (стремится к 2) (x^2-x-2)/ (x^2+x-6)

Answer 1

Lim sin4x/2x = Lim2* sin4x/4x =2* Lim sin4x/4x =2*1 =2.
x→0----------------x→0------------------------x→0

* * * * * * *
Lim(x² -5x +6)/(x³ -27) =Lim(x -2)(x -3)/(x -3)(x²+3x+9)=Lim(x -2)/(x²+3x+9) =    
x→3---------------------------x→3-----------------------------------x→3

=1/27.
* * * * * * *
Lim(x² -x -2)/(x² +x -6)=Lim(x -2)(x+1)/(x-2)(x +3) =Lim(x+1)/(x +3)=3/5.
x→2--------------------------x→2--------------------------x→2

Answer 2

Давайте последовательно рассмотрим каждый предел:

1. lim (x стремится к 0) sin(4x)/(2x): Воспользуемся замечательным пределом: lim (u стремится к 0) sin(u)/u = 1. Здесь у нас 4x вместо u, поэтому заменим u = 4x: lim (x стремится к 0) sin(4x)/(2x) = (1/2) * lim (x стремится к 0) sin(4x)/(4x) = (1/2) * 1 (используя замечательный предел) = 1/2.

   Таким образом, lim (x стремится к 0) sin(4x)/(2x) = 1/2.

2. lim (x стремится к 3) (x^2-5x+6)/(x^3-27): В данном случае, можно применить правило Лопиталя, если и числитель, и знаменатель стремятся к нулю при x стремящемся к 3. Найдем производные числителя и знаменателя: Первая производная числителя: (2x - 5). Первая производная знаменателя: (3x^2).

   Подставим x = 3 в производные: Числитель: 2(3) - 5 = 6 - 5 = 1. Знаменатель: 3(3)^2 = 3(9) = 27.

   Таким образом, lim (x стремится к 3) (x^2-5x+6)/(x^3-27) = 1/27.

3. lim (x стремится к 2) (x^2-x-2)/(x^2+x-6): Заметим, что x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) и x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3).

   Тогда предел примет следующий вид: lim (x стремится к 2) (x - 2)(x + 1) / (x - 2)(x + 3).

   Заметим, что (x - 2) сокращается в числителе и знаменателе, оставляя нам: lim (x стремится к 2) (x + 1) / (x + 3).

   Подставим x = 2: (2 + 1) / (2 + 3) = 3 / 5.

   Таким образом, lim (x стремится к 2) (x^2-x-2)/(x^2+x-6) = 3/5.