Question

Постройте график функции. Укажите область определения, множество значений, промежутки монотонности, нули функции: y = | 2 - квадратный корень(5 + |x|) |

Answer 1

$y (x)= |2 - \sqrt{5 + |x| } |$
областью определения y(x) будет x€R
(5+|x|>0 при любых x)

Теперь найдем множество значений, исходя из свойств модуля и квадратного корня
$|x| \geqslant 0$
$5 + |x | \geqslant 5$
$\sqrt{5} \geqslant \sqrt{5 + |x| } \geqslant 0$
$2 - \sqrt{5 + |x|} \leqslant 2 - \sqrt{5}$
$y(x) = |2 - \sqrt{5 + |x|} | \geqslant \\ \geqslant | 2 - \sqrt{5} | = \sqrt{5} - 2 > 0$
как мы видим нулей функции у(х) нет

теперь раскроем внутренний модуль,
а затем внешний

$y (x)= |2 - \sqrt{5 + |x| } | \\ = \left \{ |{ 2 - \sqrt{5 + x} |} , x \geqslant 0 \atop |{2 - \sqrt{5 - x} | , \: x < 0} \right. = \\ = \left \{ { - 2 + \sqrt{5 + x} } , x \geqslant 0 \atop { - 2 + \sqrt{5 - x} , \: x < 0} \right.$

внешний модуль раскрывается основываясь на сравнении значения квадратного корня и 2 при значениях х из заданных интервалов.

из вида функции и свойств квадратного корня мы видим , что
при х>0 функция возрастает
при х<0 функция убывает


причём минимум функции будет при х=0


$y (0)= |2 - \sqrt{5 + |0| } | = \\ = \sqrt{5} - 2$

Функции , составляющие y(x)

$y_1 = { - 2 + \sqrt{5 + x}} \\ y_2 = { - 2 + \sqrt{5 - x}}$
строятся на основе функции
$\sqrt{x}$
соответствующими сдвигами вдоль осей ординат и абсцисс

Финальный график - см на фото



удачи!

Answer 2

Для построения графика функции y = |2 - √(5 + |x|)|, давайте проанализируем различные аспекты функции.

1. Область определения: Выражение под корнем не может быть отрицательным, иначе корень из отрицательного числа не существует. Поэтому 5 + |x| ≥ 0. Решим это неравенство:

5 + |x| ≥ 0 |x| ≥ -5

Так как |x| всегда неотрицательно, то данное неравенство выполняется для всех действительных чисел x. Таким образом, область определения функции - это множество всех действительных чисел R (-∞, +∞).

2. Множество значений: Множество значений функции будет зависеть от значения выражения 2 - √(5 + |x|).

Обратимся к выражению под корнем 5 + |x|:

5 + |x| ≥ 0 |x| ≥ -5

Так как |x| всегда неотрицательно, то это неравенство выполняется для всех действительных чисел x. Это означает, что выражение 5 + |x| всегда неотрицательно, и значит, корень √(5 + |x|) всегда существует и неотрицателен.

Теперь рассмотрим выражение 2 - √(5 + |x|):

2 - √(5 + |x|) ≥ 0

Отсюда можно сделать вывод, что 2 ≥ √(5 + |x|), а затем возвести обе части неравенства в квадрат:

4 ≥ 5 + |x| -1 ≥ |x|

Так как |x| всегда неотрицательно, то данное неравенство выполняется только в случае, когда x = 0.

Таким образом, единственное значение, которое может принимать выражение 2 - √(5 + |x|), это 0.

Итак, множество значений функции - это {0}.

3. Промежутки монотонности: Чтобы определить промежутки монотонности, нужно проанализировать поведение функции на различных интервалах.

a) Когда x < 0: На этом интервале функция выглядит следующим образом: y = |2 - √(5 - x)|. Так как x отрицательно, то 5 - x всегда положительно. Таким образом, √(5 - x) всегда существует и неотрицательно. Значит, 2 - √(5 - x) ≥ 0. Таким образом, на этом интервале функция равна y = 2 - √(5 - x), и она убывает на этом интервале.

b) Когда x ≥ 0: На этом интервале функция выглядит следующим образом: y = |2 - √(5 + x)|. Так как x неотрицательно, то 5 + x всегда положительно. Таким образом, √(5 + x) всегда существует и неотрицательно. Значит, 2 - √(5 + x) ≥ 0. Таким образом, на этом интервале функция равна y = 2 - √(5 + x), и она убывает на этом интервале.

4. Нули функции: Нули функции - это значения x, при которых y = 0. Мы уже установили, что функция может принимать только значение 0. Подставим это значение в выражение для функции:

|2 - √(5 + |x|)| = 0

Так как значения под абсолютными значениями всегда неотрицательны, то это означает, что выражение 2 - √(5 + |x|) = 0.

Таким образом, нули функции будут соответствовать решениям уравнения:

2 - √(5 + |x|) = 0

√(5 + |x|) = 2

5 + |x| = 4

Теперь рассмотрим два случая:

a) Когда x < 0: Тогда уравнение 5 + |x| = 4 превращается в -x + 5 = 4, откуда x = 1.

b) Когда x ≥ 0: Тогда уравнение 5 + |x| = 4 превращается в x + 5 = 4, откуда x = -1.

Таким образом, у функции есть два нуля: x = -1 и x = 1.

Теперь давайте построим график функции:

На основе анализа промежутков монотонности, мы можем нарисовать график функции следующим образом:

yamlCopy code
   |                *
   |             *  |
   |          *     |
   |       *        |

|_*____|________ -1 1

График функции будет выглядеть как убывающая ломаная, проходящая через точки (-1, 0) и (1, 0).

Обратите внимание, что график функции лежит выше оси x во всех точках, а множество значений состоит только из нуля (0).