Question

При якому значенні а сума квадратів коренів рівняння х^2+(1-а)*х-2а=0 дорівнює 9?

Answer 1

По теореме Виета

x1 + x2 = - b/a = a-1

x1*x2 = c/a = - 2a

(x1 + x2)^2 = x1^2 + x2^2 + 2x1*x2

x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2x1*x2 = 9

(a-1)^2 - 2(-2a) = a^2 - 2a + 1 + 4a = 9

a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2 = 9

a+1 = - 3; a1 = - 4

a+1 = 3; a2 = 2

Ответ: при а = - 4 и при а = 2

Answer 2

Давайте розглянемо рівняння та знайдемо його корені. Рівняння має вигляд:

х^2 + (1 - а)х - 2а = 0

Для знаходження коренів використаємо квадратну формулу:

Корені рівняння х = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

де a = 1, b = (1 - а) і c = -2а.

Знайдемо значення суми квадратів коренів:

Сума квадратів коренів = х₁² + х₂²

де х₁ і х₂ - корені рівняння.

Підставимо значення коефіцієнтів a, b, і c в квадратну формулу та знайдемо корені:

х₁ = (-(1 - а) + √((1 - а)² - 4 * 1 * (-2а))) / 2 * 1 х₁ = (-1 + а + √(1 - 2а + а² + 8а)) / 2 х₁ = (-1 + а + √(a² + 9а + 1)) / 2

х₂ = (-(1 - а) - √((1 - а)² - 4 * 1 * (-2а))) / 2 * 1 х₂ = (-1 + а - √(a² + 9а + 1)) / 2

Тепер, обчислимо суму квадратів коренів:

Сума квадратів коренів = ((-1 + а + √(a² + 9а + 1)) / 2)² + ((-1 + а - √(a² + 9а + 1)) / 2)²

Сума квадратів коренів = (1/4) * ((-1 + а + √(a² + 9а + 1))² + (-1 + а - √(a² + 9а + 1))²)

Сума квадратів коренів = (1/4) * (1 - 2а + а² + 9а + 1 + 1 - 2а + а² + 9а + 1)

Сума квадратів коренів = (1/4) * (2а² + 18а + 4)

Сума квадратів коренів = 1/2 * (а² + 9а + 2)

Тепер, задача полягає в тому, щоб знайти значення параметра "а", при якому сума квадратів коренів рівняння дорівнює 9:

1/2 * (а² + 9а + 2) = 9

Розпишемо множення:

(а² + 9а + 2) = 9 * 2

а² + 9а + 2 = 18

Прирівняємо до нуля:

а² + 9а + 2 - 18 = 0

а² + 9а - 16 = 0

Тепер знайдемо корені цього квадратного рівняння. Використаємо квадратну формулу:

Корені рівняння а = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

де a = 1, b = 9 і c = -16.

а₁ = (-(9) + √(9^2 - 4 * 1 * (-16))) / 2 * 1 а₁ = ( -9 + √(81 + 64)) / 2 а₁ = ( -9 + √145) / 2

а₂ = (-(9) - √(9^2 - 4 * 1 * (-16))) / 2 * 1 а₂ = ( -9 - √(81 + 64)) / 2 а₂ = ( -9 - √145) / 2

Отже, маємо два значення "а":

а₁ = ( -9 + √145) / 2

а₂ = ( -9 - √145) / 2

Ці два значення "а" задовольняють умову, коли сума квадратів коренів рівняння дорівнює 9.