Question

Помогите. Решите уравнение cos2x+3cosx-1=0 и найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезка [-7п/2; -2п]

Answer 1

2cos^2 x - 1 + 3cos x - 1 = 0

2cos^2 x + 3cos x - 2 = 0

Квадратное уравнение относительно cos x.

D = 3^2 - 4*2(-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2

cos x = (-3-5)/4 = - 8/4 = - 2; корней нет

cos x = (-3+5)/4 = 2/4 = 1/2

x1 = - pi/3 + 2pi*n

x2 = pi/3 + 2pi*n

В промежуток [-7pi/2; -2pi] попадает один корень:

x = - pi/3 - 2pi = - 7pi/3

Answer 2

Для решения уравнения cos(2x) + 3cos(x) - 1 = 0, давайте сначала заменим cos(2x) с помощью формулы двойного угла: cos(2x) = 2cos^2(x) - 1. Тогда уравнение примет вид:

2cos^2(x) - 1 + 3cos(x) - 1 = 0.

Теперь объединим подобные слагаемые:

2cos^2(x) + 3cos(x) - 2 = 0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(x). Для его решения используем квадратную формулу:

cos(x) = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a,

где a = 2, b = 3 и c = -2.

cos(x) = [-3 ± √(3^2 - 4 * 2 * (-2))] / (2 * 2),

cos(x) = [-3 ± √(9 + 16)] / 4,

cos(x) = [-3 ± √25] / 4,

cos(x) = [-3 ± 5] / 4.

Теперь найдем два значения cos(x):

1. cos(x) = (5 - 3) / 4 = 2 / 4 = 0.5,
2. cos(x) = (-5 - 3) / 4 = -8 / 4 = -2.

Теперь, чтобы найти значения x, возьмем обратный косинус (арккосинус) каждого из полученных значений:

1. x = arccos(0.5),
2. x = arccos(-2).

Известно, что arccos(x) имеет значения только в диапазоне [0, π], поэтому для отрезка [-7π/2, -2π] у нас есть:

1. x = arccos(0.5) ≈ 1.047 радиан (или примерно 60 градусов),
2. x = arccos(-2) - это значение не имеет решения, так как арккосинус определен только в диапазоне [-1, 1], и -2 выходит за этот диапазон.

Таким образом, корнем уравнения, принадлежащим отрезку [-7π/2, -2π], является x ≈ 1.047 радиан (или примерно 60 градусов).