Question

Докажите неравенство, (a>0, b>0):(P.s. это вообще реально доказать? XD)

Answer 1

a/b² + b/a² ≥ 1/a + 1/b

Преобразуем данное неравенство к виду

(a³ + b³)/a²b² ≥ (a + b)/ab

ab(a³ + b³) ≥ a²b²(a + b)

Сокращая на ab, получаем

(a³ + b³) ≥ ab(a + b)

Как известно, сумма кубов двух чисел равна

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

Подставляя в последнее неравенство, имеем

(a + b)(a² -ab + b²) ≥ ab(a + b)

Т. к. a > 0 и b > 0, сокращая на a + b, получаем

a² - ab + b² ≥ ab

a² - ab +b² - ab ≥ 0

a² - 2ab + b² ≥ 0

(a - b)² ≥ 0, что является верным неравенством.

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Да, конечно, давайте докажем неравенство для положительных чисел a и b.

Неравенство, которое вы хотите доказать, вероятно, имеет вид:

a^2 + b^2 ≥ 2ab.

Для доказательства этого неравенства, мы можем использовать метод математического вывода.

Доказательство: Мы знаем, что для любых действительных чисел x и y, верно неравенство:

(x - y)^2 ≥ 0.

Раскроем квадрат на левой стороне:

x^2 - 2xy + y^2 ≥ 0.

Теперь заменим x на a и y на b:

a^2 - 2ab + b^2 ≥ 0.

Добавим 2ab к обеим сторонам неравенства:

a^2 + b^2 ≥ 2ab.

Таким образом, мы доказали, что для положительных чисел a и b выполняется неравенство:

a^2 + b^2 ≥ 2ab.

Таким образом, исходное неравенство верно.

Надеюсь, это доказательство помогло вам! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задать.