Question

Исследуйте пожалуйста функцию y=x^3-27x

Answer 1

Критические точки

x^3-27x=0

x(x^2-27)=0

x1=0

x2=+- 3√3

кубическая гипербола  

x=3 нуль функции,  

функция не имеет экстремумов, точкой перегиба является  

точка (0;-27)  

функция монотонно возрастает на всей оси

Answer 2

Для исследования функции $y = x^3 - 27x$ проведем анализ её свойств: домена определения, поведения на бесконечности, экстремумов, точек перегиба и поведения графика в различных областях.

1. Домен определения: Функция $y = x^3 - 27x$ определена для всех вещественных значений $x$. Таким образом, домен определения функции - это $\mathbb{R}$, весь набор вещественных чисел.

2. Поведение на бесконечности: При $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$, функция также стремится к плюс или минус бесконечности. Это можно увидеть, так как $x^3$ возрастает быстрее, чем $-27x$ убывает, что приводит к бесконечному возрастанию значения функции при положительных значениях $x$ и бесконечному убыванию при отрицательных значениях $x$.

3. Экстремумы: Экстремумы - это точки, в которых функция достигает локального минимума или максимума. Чтобы найти экстремумы, найдем точки, в которых производная функции равна нулю: $y = x^3 - 27x$ $y' = 3x^2 - 27$

Решим уравнение $y' = 0$: $3x^2 - 27 = 0$ $3(x^2 - 9) = 0$ $x^2 - 9 = 0$ $(x - 3)(x + 3) = 0$

Отсюда получаем две критические точки: $x = 3$ и $x = -3$.

Для определения, являются ли эти точки экстремумами, проанализируем знаки производной в окрестностях каждой точки:

• Когда $x < -3$, $y' = 3x^2 - 27 > 0$, следовательно, функция возрастает.
• Когда $-3 < x < 3$, $y' = 3x^2 - 27 < 0$, следовательно, функция убывает.
• Когда $x > 3$, $y' = 3x^2 - 27 > 0$, следовательно, функция возрастает.

Таким образом, у нас есть локальный максимум при $x = -3$ и локальный минимум при $x = 3$.

4. Точки перегиба: Точки перегиба - это точки, в которых меняется выпуклость или вогнутость графика функции. Чтобы найти точки перегиба, рассмотрим вторую производную функции: $y' = 3x^2 - 27$ $y'' = 6x$

Чтобы найти точки перегиба, решим уравнение $y'' = 0$: $6x = 0$ $x = 0$

Таким образом, у нас есть точка перегиба при $x = 0$.

5. Поведение графика: Теперь построим график функции $y = x^3 - 27x$ и учтем полученную информацию:

• Функция определена для всех $x$ и является кубической функцией, которая имеет убывающую область в интервале $-\infty < x < 3$ и возрастающую область в интервале $3 < x < +\infty$.
• Есть локальный максимум в точке $(x = -3, y = 54)$ и локальный минимум в точке $(x = 3, y = -54)$.
• Есть точка перегиба в точке $(x = 0, y = 0)$, где функция меняет свою выпуклость.

График функции будет выглядеть примерно следующим образом:

markdownCopy code
        |      
      60|              
        |              
      40|               * 
        |             * 
      20|          * 
        |       * 
       0|    * 
        | *   
      -20|          
        |        
      -40| 
        |  
      -60|_____________________
         -3     0     3     6

Надеюсь, это поможет вам лучше понять свойства функции $y = x^3 - 27x$ и её поведение.